八年级数学填空题分式的基本性质、约分、分式的加减法｜试题答案与解析

八年级数学填空题一般

题目

阅读材料:像

(\sqrt{5}+2)(\sqrt{5}-2)=1

\sqrt{a}•\sqrt{a}=a(a≥0)\ldots

这种两个含二次根式的代数式相乘,积不含二次根式,我们称这两个代数式互为有理化因式.在进行二次根式运算时,利用有理化因式可以化去分母中的根号.例如:

\frac{1}{\sqrt{2}-1}=\frac{\sqrt{2}+1}{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)}=\sqrt{2}+1

.
请你根据上述材料,解决如下问题:

(1)\sqrt{6}-\sqrt{5}

的有理化因式是______,

\frac{1}{\sqrt{6}-\sqrt{5}}=\_\_\_\_\_\_.

(2)

比较大小:

\sqrt{2025}-\sqrt{2024}

______

\sqrt{2024}-\sqrt{2023}

.(填

\gt

\lt

\geqslant

或

\leqslant

中的一种）

(3)

计算:

(\frac{1}{\sqrt{3}+1}+\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}+…+\frac{1}{\sqrt{2025}+\sqrt{2023}})(\sqrt{2025}+1)

；

(4)

已知

\sqrt{2025+x}+\sqrt{2023+x}=2

,求

\sqrt{2025+x}-\sqrt{2023+x}

的值.

知识点：分式的基本性质、约分、分式的加减法章节：第18章分式 / 18.1 分式及其基本性质 / 18.1.2 分式的基本性质

答案与解析

答案

（1）由题知， $\sqrt{6}-\sqrt{5}$ 的有理化因式是 $\sqrt{6}+\sqrt{5}$ ，

$\therefore \frac{1}{\sqrt{6}-\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{5}}{(\sqrt{6}-\sqrt{5})(\sqrt{6}+\sqrt{5})}=\sqrt{6}+\sqrt{5}$ ；

故答案为： $\sqrt{6}+\sqrt{5}$ ， $\sqrt{6}+\sqrt{5}$ ；

$(2)\because \frac{1}{\sqrt{2025}-\sqrt{2024}}=\sqrt{2025}+\sqrt{2024}$ ， $\frac{1}{\sqrt{2024}-\sqrt{2023}}=\sqrt{2024}+\sqrt{2023}$ ，

$\therefore \frac{1}{\sqrt{2025}-\sqrt{2024}} \gt \frac{1}{\sqrt{2024}-\sqrt{2023}}$ ，

又 $\because \sqrt{2025}-\sqrt{2024}$ 和 $\sqrt{2024}-\sqrt{2023}$ 都是大于 $0$ 的数，

$\therefore \sqrt{2025}-\sqrt{2024} \lt \sqrt{2024}-\sqrt{2023}$ ，

故答案为： $\lt$ ；

$(3)$ 原式 $=\frac{1}{2}\times (\sqrt{3}-1+\sqrt{5}-\sqrt{3}+\sqrt{7}-\sqrt{5}+\ldots +\sqrt{2025}-\sqrt{2023})\times (\sqrt{2025}+1)$

$=\frac{1}{2}\times (\sqrt{2025}-1)\times (\sqrt{2025}+1)$

$=\frac{1}{2}\times \left(2025-1\right)$

$=1012$ ；

$(4)\because (\sqrt{2025+x}+\sqrt{2023+x})(\sqrt{2025+x}-\sqrt{2023+x})$

$=2025+x-2023-x$

$=2$ ，

又 $\because \sqrt{2025+x}+\sqrt{2023+x}=2$ ，

$\therefore \sqrt{2025+x}-\sqrt{2023+x}=1$ .

解析