阅读下列材料:
我们知道,假分数可以写成带分数的形式,在这个计算过程中,先计算分子中含有几个分母,求出整数部分,再把剩余部分写成一个真分数.例如:$\frac{9}{4}=2+\frac{1}{4}=2\frac{1}{4}$.
对于只含有一个字母的分式,当分子的次数大于或等于分母的次数时,我们称之为"假分式"；当分子的次数小于分母的次数时,称之为"真分式".类似地,我们可以把一个"假分式"写成整式和一个"真分式"的和的形式.例如:
$\frac{2x-3}{x-1}=\frac{2(x-1)-1}{x-1}=\frac{2(x-1)}{x-1}-\frac{1}{x-1}=2-\frac{1}{x-1}$；
$\frac{{x}^{2}}{x+3}=\frac{{x}^{2}-9+9}{x+3}=\frac{(x+3)(x-3)+9}{x+3}=x-3+\frac{9}{x+3}$.
请根据上述材料解决下列问题:
$(1)$请写出一个假分式:______；
$(2)$请将分式$\frac{{x}^{2}+x-4}{x+3}$化为整式与真分式的和的形式；
$(3)$设$M=\frac{3x+4}{x+1}$,则当$x \gt 0$时,$M$的取值范围是______.