阅读材料:像$(\sqrt{5}+2)×(\sqrt{5}-2)=1,\sqrt{a}•\sqrt{a}=a(a≥0)\ldots \ldots$这种两个含二次根式的代数式相乘,积不含二次根式,我们称这两个代数式互为有理化因式.在进行二次根式运算时,利用有理化因式可以化去分母中的根号.数学课上,老师出了一道题"已知$a=\frac{1}{\sqrt{2}-1}$,求$3a^{2}-6a-1$的值".
聪明的小明同学根据上述材料,做了这样的解答:
因为$a=\frac{1}{\sqrt{2}-1}=\frac{\sqrt{2}+1}{(\sqrt{2}-1)×(\sqrt{2}+1)}=\sqrt{2}+1$,
所以$a-1=\sqrt{2}$,
所以$\left(a-1\right)^{2}=2$,所以$a^{2}-2a+1=2$,
所以$a^{2}-2a=1$,所以$3a^{2}-6a=3$,所以$3a^{2}-6a-1=2$.
请你根据上述材料和小明的解答过程,解决如下问题:
$(1)\sqrt{3}-\sqrt{2}$的有理化因式是______.$\frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}=$______；
$(2)$比较大小:$\sqrt{2024}-\sqrt{2023}$______$\sqrt{2023}-\sqrt{2022}($填$\gt$,$\lt$,$=$,$\geqslant$或$\leqslant$中的一种）；
$(3)$计算:$(\frac{1}{\sqrt{2}+1}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{3}}+⋯+\frac{1}{\sqrt{2022}+\sqrt{2021}})(\sqrt{2022}+1)$；
$(4)$若$a=\frac{2}{3-\sqrt{7}}$,求$-2a^{2}+12a+3$的值.