阅读下列材料:
我们知道,假分数可以写成带分数的形式,在这个计算过程中,先计算分子中含有几个分母,求出整数部分,再把剩余部分写成一个真分数.例如:$\frac{9}{4}=2+\frac{1}{4}=2\frac{1}{4}$.
对于只含有一个字母的分式,当分子的次数大于或等于分母的次数时,我们称之为"假分式"；当分子的次数小于分母的次数时,称之为"真分式".类似地,我们可以把一个"假分式"写成整式和一个"真分式"的和的形式.例如:$\frac{{2x-3}}{{x-1}}=\frac{{2(x-1)-1}}{{x-1}}=\frac{{2(x-1)}}{{x-1}}-\frac{1}{{x-1}}=2-\frac{1}{{x-1}}$；$\frac{{{x^2}}}{{x+3}}=\frac{{{x^2}-9+9}}{{x+3}}=\frac{{(x+3)(x-3)+9}}{{x+3}}=x-3+\frac{9}{{x+3}}$.
请根据上述材料解决下列问题:
$(1)$请写出一个假分式:______；
$(2)$请将分式$\frac{{{x^2}+3x+2}}{{x+3}}$化为整式与真分式的和的形式；
$(3)$设$M=\frac{{3x+4}}{{x+1}}$,则当$0 \lt x \lt 2$时,$M$的取值范围是______.