$\because 126=2\times 3\times 3\times 7$，
分三种情况讨论：
①$6\times 21=\left(1+2+3\right)\times 21=21+42+63$，
$\therefore$两两最大公因数之和为$62$；
②$9\times 14=\left(1+2+6\right)\times 14=14+28+84$，三个数分别是$14$，$28$、$84$，
$\therefore$两两最大公因数之和为$56$；
③$7\times 18=\left(1+2+4\right)\times 18=18+36+72$，三个数分别是$18$，$36$，$72$，
$\therefore$两两最大公因数之和为$72$；
综上可知：它们两两最大公因数之和的最大值为$72$，
故答案为：$72$.

$\because 126=2\times 3\times 3\times 7$，
分三种情况讨论：
①$6\times 21=\left(1+2+3\right)\times 21=21+42+63$，
$\therefore$两两最大公因数之和为$62$；
②$9\times 14=\left(1+2+6\right)\times 14=14+28+84$，三个数分别是$14$，$28$、$84$，
$\therefore$两两最大公因数之和为$56$；
③$7\times 18=\left(1+2+4\right)\times 18=18+36+72$，三个数分别是$18$，$36$，$72$，
$\therefore$两两最大公因数之和为$72$；
综上可知：它们两两最大公因数之和的最大值为$72$，
故答案为：$72$.