由于$6^{n}$个位数为$6$，则$6^{n}+1$的个位数为$7$.
当$n=1$时，$6+1=7$，符合题意；
当$n=2$时，$6^{2}+1=37$，不符合题意；
当$n=3$时，$6^{3}+1=217$，不符合题意；
当$n=4$时，$6^{4}+1=1297$，不符合题意；
当$n=5$时，$6^{n}+1=7777$.符合题意.
即$6^{5}+1=\frac{7×(1{0}^{4}-1)}{9}$.
假设存在$n=5+j$，$m=4+k$，$m$，$j$，$k$均为正整数，使得$6^{5+j}+1=\frac{7×(1{0}^{4+k}-1)}{9}$.
$\therefore 6^{5+j}-6^{5}=6^{5}(6^{j}-1)=\frac{7×1{0}^{4}×(1{0}^{k}-1)}{9}$.
由于$6^{5}$的个位数为$6$，$(6^{j}-1)$的个位数为$5$，故$6^{5}(6^{j}-1)\equiv 0\left(mod 10\right)$，而不能被$10^{4}$整除.
而$\frac{7×1{0}^{4}×(1{0}^{k}-1)}{9}\equiv 0\left(mod 10000\right)$.
因此当$n \gt 5$时，$6^{n}+1$在十进制下不可能所有数字都相同.
故答案为$n$的值为$1$和$5$.

由于$6^{n}$个位数为$6$，则$6^{n}+1$的个位数为$7$.
当$n=1$时，$6+1=7$，符合题意；
当$n=2$时，$6^{2}+1=37$，不符合题意；
当$n=3$时，$6^{3}+1=217$，不符合题意；
当$n=4$时，$6^{4}+1=1297$，不符合题意；
当$n=5$时，$6^{n}+1=7777$.符合题意.
即$6^{5}+1=\frac{7×(1{0}^{4}-1)}{9}$.
假设存在$n=5+j$，$m=4+k$，$m$，$j$，$k$均为正整数，使得$6^{5+j}+1=\frac{7×(1{0}^{4+k}-1)}{9}$.
$\therefore 6^{5+j}-6^{5}=6^{5}(6^{j}-1)=\frac{7×1{0}^{4}×(1{0}^{k}-1)}{9}$.
由于$6^{5}$的个位数为$6$，$(6^{j}-1)$的个位数为$5$，故$6^{5}(6^{j}-1)\equiv 0\left(mod 10\right)$，而不能被$10^{4}$整除.
而$\frac{7×1{0}^{4}×(1{0}^{k}-1)}{9}\equiv 0\left(mod 10000\right)$.
因此当$n \gt 5$时，$6^{n}+1$在十进制下不可能所有数字都相同.
故答案为$n$的值为$1$和$5$.