C

$A$、$x=0$时，分式$\frac{x}{x-3}=\frac{0}{0-3}=0$，$A$正确，但不符合题意；
$B$、$x=3$时，分式的分母为$0$，故分式无意义，$B$正确，但不符合题意；
$C$、$x \lt 0$时，$x-3 \lt 0$，则分式$\frac{x}{x-3}＞0$，分式值为正数，$C$不正确，但符合题意；
$D$、$x \gt 3$时，$x-3 \gt 0$，且$x \gt 0$，于是$\frac{x}{x-3}＞0$，$D$正确，但不符合题意.
故选：$C$.