连接$BC$，交抛物线的对称轴于一点，由抛物线的对称性可知，该点即为所求的点$P$，

$\because$抛抛物线$y=-\frac{8}{7}x^2+\frac{24}{7}x+2$与$y$轴交于点$C$，
$\therefore$点$C$的坐标为$\left(0,2\right)$，
令$y=0$，则$-\frac{8}{7}x^{2}+\frac{24}{7}x+2=0$，
解得$x_{1}=\frac{7}{2}$，$x_{2}=-\frac{1}{2}$，
$\because A(-\frac{1}{2}$，$0)$，$B(\frac{7}{2}$，$0)$，
设直线$BC$的函数表达式为$y=kx+b$，
把$B(\frac{7}{2}$，$0)$和$C\left(0,2\right)$代入，
得：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{7}{2}k+b=0}\\{b=2}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{4}{7}}\\{b=2}\end{array}\right.$，
$\therefore$直线$BC$的函数表达式为$y=-\frac{4}{7}x+2$.
$\because$抛物线的对称轴为直线$x=-\frac{\frac{24}{7}}{2×(-\frac{8}{7})}=\frac{3}{2}$，
$\therefore$当$x=\frac{3}{2}$时，$y=-\frac{4}{7}\times \frac{3}{2}+2=\frac{8}{7}$，
$\therefore$点$P$的坐标为（$\frac{3}{2}$，$\frac{8}{7})$，
即当$PA+PC$的值最小时，点$P$的坐标为（$\frac{3}{2}$，$\frac{8}{7})$，
故答案为：（$\frac{3}{2}$，$\frac{8}{7})$.

连接$BC$，交抛物线的对称轴于一点，由抛物线的对称性可知，该点即为所求的点$P$，

$\because$抛抛物线$y=-\frac{8}{7}x^2+\frac{24}{7}x+2$与$y$轴交于点$C$，
$\therefore$点$C$的坐标为$\left(0,2\right)$，
令$y=0$，则$-\frac{8}{7}x^{2}+\frac{24}{7}x+2=0$，
解得$x_{1}=\frac{7}{2}$，$x_{2}=-\frac{1}{2}$，
$\because A(-\frac{1}{2}$，$0)$，$B(\frac{7}{2}$，$0)$，
设直线$BC$的函数表达式为$y=kx+b$，
把$B(\frac{7}{2}$，$0)$和$C\left(0,2\right)$代入，
得：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{7}{2}k+b=0}\\{b=2}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{4}{7}}\\{b=2}\end{array}\right.$，
$\therefore$直线$BC$的函数表达式为$y=-\frac{4}{7}x+2$.
$\because$抛物线的对称轴为直线$x=-\frac{\frac{24}{7}}{2×(-\frac{8}{7})}=\frac{3}{2}$，
$\therefore$当$x=\frac{3}{2}$时，$y=-\frac{4}{7}\times \frac{3}{2}+2=\frac{8}{7}$，
$\therefore$点$P$的坐标为（$\frac{3}{2}$，$\frac{8}{7})$，
即当$PA+PC$的值最小时，点$P$的坐标为（$\frac{3}{2}$，$\frac{8}{7})$，
故答案为：（$\frac{3}{2}$，$\frac{8}{7})$.