C

当$x=1$时，$y=8$；当$x=8$时，$y=1$；代入函数式得：$\left\{\begin{array}{l}{8=a(1-h)^{2}+k}\\{1=a(8-h)^{2}+k}\end{array}\right.$，
$\therefore a\left(8-h\right)^{2}-a\left(1-h\right)^{2}=-7$，
整理得：$a\left(9-2h\right)=-1$，
若$h=4$，则$a=-1$，故$A$错误；
若$h=5$，则$a=1$，故$B$错误；
若$h=6$，则$a=\frac{1}{3}$，故$C$正确；
若$h=7$，则$a=\frac{1}{5}$，故$D$错误；
故选：$C$.