C

$A$、平移后的解析式为$y=\left(x+2\right)^{2}-2$，当$x=2$时，$y=14$，本选项不符合题意.
$B$、平移后的解析式为$y=\left(x+1\right)^{2}+2$，当$x=2$时，$y=11$，本选项不符合题意.
$C$、平移后的解析式为$y=\left(x-1\right)^{2}-1$，当$x=2$时，$y=0$，函数图象经过$\left(2,0\right)$，本选项符合题意.
$D$、平移后的解析式为$y=\left(x-2\right)^{2}+1$，当$x=2$时，$y=1$，本选项不符合题意.
故选：$C$.