B

根据题意可知，大正方形的面积为：$\left(x+2\right)\left(x+2\right)=\left(x+2\right)^{2}$，
又$\because$大正方形的面积$=$两个长方形面积$+$两个正方形的面积，
故大正方形的面积为：$x^{2}+2x+2x+4=x^{2}+4x+4$，
$\therefore \left(x+2\right)^{2}=x^{2}+4x+4$.
故选：$B$.