设甲、乙、丙三堆石子$x$块，$y$块，$z$块，则$x+y+z=196$，
先从甲堆分给另外两堆，则甲为$x-y-z$块，乙为$2y$块，丙为$2z$块，
再把乙堆照样分配一次，则甲为$2\left(x-y-z\right)$块，乙为$2y-\left(x-y-z\right)-2z=3y-z-x$块，丙为$4z$块，
最后把丙堆也照样分配一次；甲为$4\left(x-y-z\right)$；乙为$2\left(3y-z-x\right)$块，丙为$4z-2\left(x-y-z\right)-\left(3y-z-x\right)=7z-y-x$块，
所以$7z-y-x=\frac{5}{22}\times 4\left(x-y-z\right)$；
解得：$x=109$，$y=60$，$z=27$，
那么原来三堆中，最少的一堆石子数为丙，有$27$块.
故答案为：$27$.

设甲、乙、丙三堆石子$x$块，$y$块，$z$块，则$x+y+z=196$，
先从甲堆分给另外两堆，则甲为$x-y-z$块，乙为$2y$块，丙为$2z$块，
再把乙堆照样分配一次，则甲为$2\left(x-y-z\right)$块，乙为$2y-\left(x-y-z\right)-2z=3y-z-x$块，丙为$4z$块，
最后把丙堆也照样分配一次；甲为$4\left(x-y-z\right)$；乙为$2\left(3y-z-x\right)$块，丙为$4z-2\left(x-y-z\right)-\left(3y-z-x\right)=7z-y-x$块，
所以$7z-y-x=\frac{5}{22}\times 4\left(x-y-z\right)$；
解得：$x=109$，$y=60$，$z=27$，
那么原来三堆中，最少的一堆石子数为丙，有$27$块.
故答案为：$27$.