C

连接$OP$，作$OH\bot AB$于点$H$，
$\because$四边形$ABCD$是菱形，对角线$AC$、$BD$相交于点$O$，
$\therefore AC\bot BD$，$OA=OC=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}\times 16=8$，$OB=OD=\frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}\times 12=6$，
$\therefore \angle AOB=90^{\circ}$，
$\therefore AB=\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}=\sqrt{{8}^{2}+{6}^{2}}=10$，
$\because \frac{1}{2}AB\cdot OH=\frac{1}{2}OA\cdot OB=S_{\triangle AOB}$，
$\therefore \frac{1}{2}\times 10OH=\frac{1}{2}\times 8\times 6$，
解得$OH=4.8$，
$\because PE\bot OA$于点$E$，$PF\bot OB$于点$F$，
$\therefore \angle PEO=\angle PFO=\angle EOF=90^{\circ}$，
$\therefore$四边形$PEOF$是矩形，
$\therefore EF=OP$，
$\therefore OP\geqslant OH$，
$\therefore EF\geqslant 4.8$，
$\therefore EF$的最小值为$4.8$，
故选：$C$.