D

如图，连接$OP$，
$\because$四边形$ABCD$是菱形，$AC=20$，$BD=10$，
$\therefore AC\bot BD$，$AO=\frac{1}{2}AC=10$，$BO=\frac{1}{2}BD=5$，
$\therefore \angle AOB=90^{\circ}$，
在$Rt\triangle ABO$中，由勾股定理得：$AB=\sqrt{A{O}^{2}+B{O}^{2}}=\sqrt{1{0}^{2}+{5}^{2}}=5\sqrt{5}$，
$\because PE\bot OA$于点$E$，$PF\bot OB$于点$F$，
$\therefore \angle OEP=\angle OFP=90^{\circ}$，
$\therefore$四边形$OEPF$是矩形，
$\therefore EF=OP$，
当$OP$取最小值时，$EF$的值最小，
$\therefore$当$OP\bot AB$时，$OP$最小，
此时，$S_{\triangle ABO}=\frac{1}{2}OA\cdot OB=\frac{1}{2}AB\cdot OP$，
$\therefore OP=\frac{10×5}{5\sqrt{5}}=2\sqrt{5}$，
$\therefore EF$的最小值为$2\sqrt{5}$，
故选：$D$.