阅读材料:如图$\left(1\right)$,在$\triangle AOB$中,$\angle O=90^{\circ}$,$OA=OB$,点$P$在$AB$边上,$PE\bot OA$于点$E$,$PF\bot OB$于点$F$,则$PE+PF=OA.(此结论不必证明,可直接应用)$

$(1)$【理解与应用】
如图（2）,正方形$ABCD$的边长为$2$,对角线$AC$、$BD$相交于点$O$,点$P$在$AB$边上,$PE\bot OA$于点$E$,$PF\bot OB$于点$F$,则$PE+PF=$______；
$(2)$【类比与推理】
如图$\left(3\right)$,矩形$ABCD$的对角线$AC$、$BD$相交于点$O$,$AB=4$,$AD=3$,点$P$在$AB$边上$,PE$∥$OB$交$AC$于点$E,PF$∥$OA$交$BD$于点$F$,求$PE+PF$的值；
$(3)$【拓展与延伸】
四边形$ABCD$是半径为$4$的圆内接四边形,对角线$AC$、$BD$相交于点$O$,$AB=AD=CD$,点$P$在弦$BC$上$,PE$∥$AC$交$BD$于点$E,PF$∥$BD$交$AC$于点$F$,当$\angle ABC=90^{\circ}$时,试判断$PE+PF$的值是否为定值,若是请求出该定值并求出四边形$PEOF$面积的最大值；若不是定值,请说明理由.