（1）如图$1$，连接$OP$并延长，过点$P$作$AB\bot OP$，

则弦$AB$即为所求；
$(2)$①过点$P$的所有弦中，直径最长为$26$，与$OP$垂直的弦最短，
连接$OA$，如图$2$所示：

$\because OP\bot AB$，
$\therefore AP=BP=\sqrt{O{A}^{2}-O{P}^{2}}=\sqrt{1{3}^{2}-{5}^{2}}=12$，
$\therefore AB=2AP=24$，
$\therefore$过点$P$的弦的长度$m$范围为$24\leqslant m\leqslant 26$；
②$\because$过$P$点最长的弦为直径$26$，最短的弦$24$，
$\therefore$长度为$25$的弦有两条，
$\therefore$过点$P$的弦中，长度为整数的弦共有$4$条，
故答案为：$4$.

（1）如图$1$，连接$OP$并延长，过点$P$作$AB\bot OP$，

则弦$AB$即为所求；
$(2)$①过点$P$的所有弦中，直径最长为$26$，与$OP$垂直的弦最短，
连接$OA$，如图$2$所示：

$\because OP\bot AB$，
$\therefore AP=BP=\sqrt{O{A}^{2}-O{P}^{2}}=\sqrt{1{3}^{2}-{5}^{2}}=12$，
$\therefore AB=2AP=24$，
$\therefore$过点$P$的弦的长度$m$范围为$24\leqslant m\leqslant 26$；
②$\because$过$P$点最长的弦为直径$26$，最短的弦$24$，
$\therefore$长度为$25$的弦有两条，
$\therefore$过点$P$的弦中，长度为整数的弦共有$4$条，
故答案为：$4$.