如图，在优弧$AB$上取一点$D$，连接$AD$、$BD$，在劣弧$AB$上取一点$C$，连接$AC$、$BC$，

$\because \angle AOB=120^{\circ}$，
$\therefore ∠ADB=\frac{1}{2}∠AOB=60°$，
$\because \angle ACB+\angle ADB=180^{\circ}$，
$\therefore \angle ACB=180^{\circ}-\angle ADB=120^{\circ}$，
$\therefore$弦$AB$所对的弧的度数为$120^{\circ}$或$240^{\circ}$，
故答案为：$120^{\circ}$或$240^{\circ}$.

如图，在优弧$AB$上取一点$D$，连接$AD$、$BD$，在劣弧$AB$上取一点$C$，连接$AC$、$BC$，

$\because \angle AOB=120^{\circ}$，
$\therefore ∠ADB=\frac{1}{2}∠AOB=60°$，
$\because \angle ACB+\angle ADB=180^{\circ}$，
$\therefore \angle ACB=180^{\circ}-\angle ADB=120^{\circ}$，
$\therefore$弦$AB$所对的弧的度数为$120^{\circ}$或$240^{\circ}$，
故答案为：$120^{\circ}$或$240^{\circ}$.