$\left(1\right)\because \left(|a|-3\right)x^{2}-\left(a+3\right)x+8=0$是关于$x$的一元一次方程，
$\therefore |a|-3=0$且$-\left(a+3\right)\neq 0$，
$\therefore a=3$，
方程为$-6x+8=0$，
$-6x=-8$，
$x=\frac{4}{3}$，
即$a=3$，方程的解是$x=\frac{4}{3}$；
$(2)\because$上述方程的解是关于$x$的方程$5x-2k=4$的解的$\frac{3}{2}$倍，上述方程的解是$x=\frac{4}{3}$，
$\therefore$方程$5x-2k=4$的解是$x=\frac{4}{3}\div \frac{3}{2}=\frac{4}{3}\times \frac{2}{3}=\frac{8}{9}$，
$\therefore 5\times \frac{8}{9}-2k=4$，
$\therefore \frac{40}{9}-4=2k$，
$\therefore \frac{4}{9}=2k$，
$\therefore k=\frac{2}{9}$.

$\left(1\right)\because \left(|a|-3\right)x^{2}-\left(a+3\right)x+8=0$是关于$x$的一元一次方程，
$\therefore |a|-3=0$且$-\left(a+3\right)\neq 0$，
$\therefore a=3$，
方程为$-6x+8=0$，
$-6x=-8$，
$x=\frac{4}{3}$，
即$a=3$，方程的解是$x=\frac{4}{3}$；
$(2)\because$上述方程的解是关于$x$的方程$5x-2k=4$的解的$\frac{3}{2}$倍，上述方程的解是$x=\frac{4}{3}$，
$\therefore$方程$5x-2k=4$的解是$x=\frac{4}{3}\div \frac{3}{2}=\frac{4}{3}\times \frac{2}{3}=\frac{8}{9}$，
$\therefore 5\times \frac{8}{9}-2k=4$，
$\therefore \frac{40}{9}-4=2k$，
$\therefore \frac{4}{9}=2k$，
$\therefore k=\frac{2}{9}$.