D

$m^{2}\cdot m^{3}=m^{5}$，故选项$A$正确，不符合题意；
$(mn^{2})^{3}=m^{3}n^{6}$，故选项$B$正确，不符合题意；
$2m^{4}\div m^{4}=2m^{4-4}=2m^{0}=2$，$\left(m\neq 0\right)$，故选项$C$正确，不符合题意；
$m^{2}+m^{2}=\left(1+1\right)\times m^{2}=2m^{2}$，故选项$D$错误，符合题意；
故选：$D$.