（1）把$A\left(-3,0\right)$，$C\left(0,3\right)$代入$y=-x^{2}+bx+c$得：
$\left\{\begin{array}{l}{-9-3b+c=0}\\{c=3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{c=3}\end{array}\right.$，
$\therefore$抛物线的解析式为$y=-x^{2}-2x+3$；
$(2)$过$D$作$DK$∥$y$轴交$AC$于$K$，如图：

由$A\left(-3,0\right)$，$C\left(0,3\right)$得直线$AC$解析式为$y=x+3$，
设$D(t$，$-t^{2}-2t+3)$，则$K\left(t,t+3\right)$，
$\therefore DK=-t^{2}-2t+3-\left(t+3\right)=-t^{2}-3t$，
$\because \triangle ACD$的面积为$3$，
$\therefore \frac{1}{2}DK\cdot |x_{A}-x_{C}|=3$，即$\frac{1}{2}(-t^{2}-3t)\times 3=3$，
解得$t=-1$或$t=-2$，
$\therefore D$的坐标为$\left(-1,4\right)$或$\left(-2,3\right)$；
$(3)$在直线$BC$上存在点$P$，使$\triangle OPD$是以$PD$为斜边的等腰直角三角形，理由如下：
在$y=-x^{2}-2x+3$中，令$y=0$得$0=-x^{2}-2x+3$，
解得$x=-3$或$x=1$，
$\therefore A\left(-3,0\right)$，$B\left(1,0\right)$，
由$B\left(1,0\right)$，$C\left(0,3\right)$得直线$BC$解析式为$y=-3x+3$，
设$P\left(m,-3m+3\right)$，$D(n$，$-n^{2}-2n+3)$，
过$P$作$PN\bot y$轴于$N$，过$D$作$DM\bot y$轴于$M$，
①$\because OA=OC=3$，
$\therefore$当$P$与$C$重合，$D$与$A$重合时，$\triangle OPD$是等腰直角三角形，如图：

此时$P\left(0,3\right)$；
②当$P$在第一象限，$D$在第四象限时，

$\because \triangle OPD$是以$PD$为斜边的等腰直角三角形，
$\therefore OD=OP$，$\angle POD=90^{\circ}$，
$\therefore \angle DOM=90^{\circ}-\angle PON=\angle OPN$，
$\because \angle DMO=90^{\circ}=\angle PNO$，
$\therefore \triangle DOM$≌$\triangle OPN\left(AAS\right)$，
$\therefore DM=ON$，$OM=PN$，
$\therefore \left\{\begin{array}{l}{n=-3m+3}\\{{n}^{2}+2n-3=m}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{25+\sqrt{193}}{18}}\\{n=\frac{-7-\sqrt{193}}{6}}\end{array}\right.(n$小于$0$，舍去）或$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{25-\sqrt{193}}{18}}\\{n=\frac{-7+\sqrt{193}}{6}}\end{array}\right.$，
$\therefore -3m+3=-3\times \frac{25-\sqrt{193}}{18}+3=\frac{-7+\sqrt{193}}{6}$，
$\therefore P$的坐标为（$\frac{25-\sqrt{193}}{18}$，$\frac{-7+\sqrt{193}}{6})$；
③当$P$在第四象限，$D$在第三象限时，如图：

$\because \triangle OPD$是以$PD$为斜边的等腰直角三角形，
$\therefore OD=OP$，$\angle POD=90^{\circ}$，
$\therefore \angle DOM=90^{\circ}-\angle PON=\angle OPN$，
$\because \angle DMO=90^{\circ}=\angle PNO$，
$\therefore \triangle DOM$≌$\triangle OPN\left(AAS\right)$，
$\therefore PN=OM$，$ON=DM$，
同理可得$\left\{\begin{array}{l}{m={n}^{2}+2n-3}\\{3m-3=-n}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{25+\sqrt{193}}{18}}\\{n=\frac{-7-\sqrt{193}}{6}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{25-\sqrt{193}}{18}}\\{n=\frac{-7+\sqrt{193}}{6}}\end{array}\right.($大于$0$，舍去），
$\therefore -3m+3=-3\times \frac{25+\sqrt{193}}{18}+3=\frac{-7-\sqrt{193}}{6}$，
$\therefore P$的坐标为（$\frac{25+\sqrt{193}}{18}$，$\frac{-7-\sqrt{193}}{6})$；
④当$P$在第四象限，$D$在第一象限，如图：

$\because \triangle OPD$是以$PD$为斜边的等腰直角三角形，
$\therefore OD=OP$，$\angle POD=90^{\circ}$，
$\therefore \angle DOM=90^{\circ}-\angle PON=\angle OPN$，
$\because \angle DMO=90^{\circ}=\angle PNO$，
$\therefore \triangle DOM$≌$\triangle OPN\left(AAS\right)$，
$\therefore PN=OM$，$ON=DM$，
$\therefore \left\{\begin{array}{l}{m={-n}^{2}-2n+3}\\{3m-3=n}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{m=0}\\{n=-3}\end{array}\right.$（舍去）或$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{11}{9}}\\{n=\frac{2}{3}}\end{array}\right.$，
$\therefore -3m+3=-3\times \frac{11}{9}+3=-\frac{2}{3}$，
$\therefore P$的坐标为（$\frac{11}{9}$，$-\frac{2}{3})$；
综上所述，$P$的坐标为$\left(0,3\right)$或（$\frac{25-\sqrt{193}}{18}$，$\frac{-7+\sqrt{193}}{6}$）或（$\frac{25+\sqrt{193}}{18}$，$\frac{-7-\sqrt{193}}{6}$）或（$\frac{11}{9}$，$-\frac{2}{3})$.

（1）把$A\left(-3,0\right)$，$C\left(0,3\right)$代入$y=-x^{2}+bx+c$得：
$\left\{\begin{array}{l}{-9-3b+c=0}\\{c=3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{c=3}\end{array}\right.$，
$\therefore$抛物线的解析式为$y=-x^{2}-2x+3$；
$(2)$过$D$作$DK$∥$y$轴交$AC$于$K$，如图：

由$A\left(-3,0\right)$，$C\left(0,3\right)$得直线$AC$解析式为$y=x+3$，
设$D(t$，$-t^{2}-2t+3)$，则$K\left(t,t+3\right)$，
$\therefore DK=-t^{2}-2t+3-\left(t+3\right)=-t^{2}-3t$，
$\because \triangle ACD$的面积为$3$，
$\therefore \frac{1}{2}DK\cdot |x_{A}-x_{C}|=3$，即$\frac{1}{2}(-t^{2}-3t)\times 3=3$，
解得$t=-1$或$t=-2$，
$\therefore D$的坐标为$\left(-1,4\right)$或$\left(-2,3\right)$；
$(3)$在直线$BC$上存在点$P$，使$\triangle OPD$是以$PD$为斜边的等腰直角三角形，理由如下：
在$y=-x^{2}-2x+3$中，令$y=0$得$0=-x^{2}-2x+3$，
解得$x=-3$或$x=1$，
$\therefore A\left(-3,0\right)$，$B\left(1,0\right)$，
由$B\left(1,0\right)$，$C\left(0,3\right)$得直线$BC$解析式为$y=-3x+3$，
设$P\left(m,-3m+3\right)$，$D(n$，$-n^{2}-2n+3)$，
过$P$作$PN\bot y$轴于$N$，过$D$作$DM\bot y$轴于$M$，
①$\because OA=OC=3$，
$\therefore$当$P$与$C$重合，$D$与$A$重合时，$\triangle OPD$是等腰直角三角形，如图：

此时$P\left(0,3\right)$；
②当$P$在第一象限，$D$在第四象限时，

$\because \triangle OPD$是以$PD$为斜边的等腰直角三角形，
$\therefore OD=OP$，$\angle POD=90^{\circ}$，
$\therefore \angle DOM=90^{\circ}-\angle PON=\angle OPN$，
$\because \angle DMO=90^{\circ}=\angle PNO$，
$\therefore \triangle DOM$≌$\triangle OPN\left(AAS\right)$，
$\therefore DM=ON$，$OM=PN$，
$\therefore \left\{\begin{array}{l}{n=-3m+3}\\{{n}^{2}+2n-3=m}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{25+\sqrt{193}}{18}}\\{n=\frac{-7-\sqrt{193}}{6}}\end{array}\right.(n$小于$0$，舍去）或$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{25-\sqrt{193}}{18}}\\{n=\frac{-7+\sqrt{193}}{6}}\end{array}\right.$，
$\therefore -3m+3=-3\times \frac{25-\sqrt{193}}{18}+3=\frac{-7+\sqrt{193}}{6}$，
$\therefore P$的坐标为（$\frac{25-\sqrt{193}}{18}$，$\frac{-7+\sqrt{193}}{6})$；
③当$P$在第四象限，$D$在第三象限时，如图：

$\because \triangle OPD$是以$PD$为斜边的等腰直角三角形，
$\therefore OD=OP$，$\angle POD=90^{\circ}$，
$\therefore \angle DOM=90^{\circ}-\angle PON=\angle OPN$，
$\because \angle DMO=90^{\circ}=\angle PNO$，
$\therefore \triangle DOM$≌$\triangle OPN\left(AAS\right)$，
$\therefore PN=OM$，$ON=DM$，
同理可得$\left\{\begin{array}{l}{m={n}^{2}+2n-3}\\{3m-3=-n}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{25+\sqrt{193}}{18}}\\{n=\frac{-7-\sqrt{193}}{6}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{25-\sqrt{193}}{18}}\\{n=\frac{-7+\sqrt{193}}{6}}\end{array}\right.($大于$0$，舍去），
$\therefore -3m+3=-3\times \frac{25+\sqrt{193}}{18}+3=\frac{-7-\sqrt{193}}{6}$，
$\therefore P$的坐标为（$\frac{25+\sqrt{193}}{18}$，$\frac{-7-\sqrt{193}}{6})$；
④当$P$在第四象限，$D$在第一象限，如图：

$\because \triangle OPD$是以$PD$为斜边的等腰直角三角形，
$\therefore OD=OP$，$\angle POD=90^{\circ}$，
$\therefore \angle DOM=90^{\circ}-\angle PON=\angle OPN$，
$\because \angle DMO=90^{\circ}=\angle PNO$，
$\therefore \triangle DOM$≌$\triangle OPN\left(AAS\right)$，
$\therefore PN=OM$，$ON=DM$，
$\therefore \left\{\begin{array}{l}{m={-n}^{2}-2n+3}\\{3m-3=n}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{m=0}\\{n=-3}\end{array}\right.$（舍去）或$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{11}{9}}\\{n=\frac{2}{3}}\end{array}\right.$，
$\therefore -3m+3=-3\times \frac{11}{9}+3=-\frac{2}{3}$，
$\therefore P$的坐标为（$\frac{11}{9}$，$-\frac{2}{3})$；
综上所述，$P$的坐标为$\left(0,3\right)$或（$\frac{25-\sqrt{193}}{18}$，$\frac{-7+\sqrt{193}}{6}$）或（$\frac{25+\sqrt{193}}{18}$，$\frac{-7-\sqrt{193}}{6}$）或（$\frac{11}{9}$，$-\frac{2}{3})$.