C

连接$OC$，

$\because PA$与$\odot O$相切于点$A$，
$\therefore \angle OAP=90^{\circ}$，
$\because OA=OB$，$OC=OC$，$CA=CB$，
$\therefore \triangle OAC$≌$\triangle OBC\left(SSS\right)$，
$\therefore \angle OAP=\angle OBC=90^{\circ}$，
在$Rt\triangle OAP$中，$OA=5$，$PA=12$，
$\therefore OP=\sqrt{O{A}^{2}+A{P}^{2}}=\sqrt{{5}^{2}+1{2}^{2}}=13$，
$\because \triangle OAC$的面积$+\triangle OCP$的面积$=\triangle OAP$的面积，
$\therefore \frac{1}{2}OA\cdot AC+\frac{1}{2}OP•BC=\frac{1}{2}OA•AP$，
$\therefore OA\cdot AC+OP\cdot BC=OA\cdot AP$，
$\therefore 5AC+13BC=5\times 12$，
$\therefore AC=BC=\frac{10}{3}$，
故选：$C$.