$(1)$证明：连接$OA$，$OC$，$OD$，$OB$，作$OM\bot AC$于$M$，$ON\bot BD$于$N$，设$OP$交$\odot O$于$E$.
$\because \widehat {AC}=\widehat {BD}$，
$\therefore AC=BD$，
$\because OA=OC=OB=OD$，$OM\bot AC$，$ON\bot BD$，
$\therefore CM=AM$，$BN=DN$，$\angle OMC=\angle OND=90^{\circ}$，
$\therefore CM=DN$，
在$Rt\triangle OMC$和$Rt\triangle OND$中，
$\left\{\begin{array}{l}{CM=DN}\\{OC=OD}\end{array}\right.$，
$\therefore Rt\triangle OMC$≌$Rt\triangle OND\left(HL\right)$，
$\therefore OM=ON$，
在$Rt\triangle POM$和$Rt\triangle PON$中，
$\left\{\begin{array}{l}{OP=OP}\\{OM=ON}\end{array}\right.$，
$\therefore Rt\triangle POM$≌$Rt\triangle PON\left(HL\right)$，
$\therefore PM=PN$，
$\because AM=BN$，
$\therefore PA=PB$.

$(2)$$\because \angle APB=60^{\circ}$，$\angle PMO=\angle PNO=90^{\circ}$，
$\therefore \angle MON=120^{\circ}$，
$\because \triangle POM$≌$\triangle PON$，
$\therefore \angle POM=\angle PON=60^{\circ}$，
$\because \widehat {CD}=3\widehat {AC}$，
$\therefore \angle COE=3\angle COM$，
$\therefore \angle COM=15^{\circ}$，
$\therefore \angle AOC=2\angle COM=30^{\circ}$，
过点$A$作$AJ\bot OC$于$J$.设$OA=OB=R$，则$AJ=\frac{1}{2}R$
$\therefore S_{\triangle AOC}=9$，
$\therefore \frac{1}{2}\cdot R\cdot \frac{1}{2}\cdot R=9$，
$\therefore R=6$，
$\therefore S_{阴}=S_{扇形AOC}-S_{\triangle AOC}=\frac{30×π×{6}^{2}}{360}-9=3\pi -9$.

$(1)$证明：连接$OA$，$OC$，$OD$，$OB$，作$OM\bot AC$于$M$，$ON\bot BD$于$N$，设$OP$交$\odot O$于$E$.
$\because \widehat {AC}=\widehat {BD}$，
$\therefore AC=BD$，
$\because OA=OC=OB=OD$，$OM\bot AC$，$ON\bot BD$，
$\therefore CM=AM$，$BN=DN$，$\angle OMC=\angle OND=90^{\circ}$，
$\therefore CM=DN$，
在$Rt\triangle OMC$和$Rt\triangle OND$中，
$\left\{\begin{array}{l}{CM=DN}\\{OC=OD}\end{array}\right.$，
$\therefore Rt\triangle OMC$≌$Rt\triangle OND\left(HL\right)$，
$\therefore OM=ON$，
在$Rt\triangle POM$和$Rt\triangle PON$中，
$\left\{\begin{array}{l}{OP=OP}\\{OM=ON}\end{array}\right.$，
$\therefore Rt\triangle POM$≌$Rt\triangle PON\left(HL\right)$，
$\therefore PM=PN$，
$\because AM=BN$，
$\therefore PA=PB$.

$(2)$$\because \angle APB=60^{\circ}$，$\angle PMO=\angle PNO=90^{\circ}$，
$\therefore \angle MON=120^{\circ}$，
$\because \triangle POM$≌$\triangle PON$，
$\therefore \angle POM=\angle PON=60^{\circ}$，
$\because \widehat {CD}=3\widehat {AC}$，
$\therefore \angle COE=3\angle COM$，
$\therefore \angle COM=15^{\circ}$，
$\therefore \angle AOC=2\angle COM=30^{\circ}$，
过点$A$作$AJ\bot OC$于$J$.设$OA=OB=R$，则$AJ=\frac{1}{2}R$
$\therefore S_{\triangle AOC}=9$，
$\therefore \frac{1}{2}\cdot R\cdot \frac{1}{2}\cdot R=9$，
$\therefore R=6$，
$\therefore S_{阴}=S_{扇形AOC}-S_{\triangle AOC}=\frac{30×π×{6}^{2}}{360}-9=3\pi -9$.