金属活动性顺序为$Zn \gt Fe \gt Ag$，将锌粉投入一定量硝酸亚铁和硝酸银的混合溶液中，锌优先与$AgNO_{3}$反应生成硝酸锌和银，$AgNO_{3}$反应完，若还有锌粉，锌才能与硝酸亚铁反应生成硝酸锌和铁，根据锌粉的量，可分为五种情况。
①锌粉不足，只与部分硝酸银反应，此时滤液的溶质有硝酸锌、硝酸银、硝酸亚铁，滤渣有银，滤液颜色为浅绿色；
②锌粉刚好与硝酸银完全反应，此时滤液的溶质有硝酸锌、硝酸亚铁，滤渣有银，滤液颜色为浅绿色；
③锌粉与部分硝酸亚铁反应，此时滤液的溶质有硝酸锌、硝酸亚铁，滤渣有银、铁，滤液颜色为浅绿色；
④锌粉刚好与硝酸亚铁完全反应，此时滤液的溶质只有硝酸锌，滤渣有银、铁，滤液颜色为无色；
⑤锌粉过量，此时滤液的溶质只有硝酸锌，滤渣有银、铁、锌，滤液颜色为无色。
$(1)$滤渣中只有银，则是情况①或②，一定有锌粉与硝酸银发生反应，生成硝酸锌、银，反应的化学方程式为$Zn+2AgNO_{3}=Zn(NO_{3})_{2}+2Ag$。
$(2)$根据解析可知，滤液为浅绿色，滤液中一定含有硝酸亚铁，则滤渣一定含有银，可能含有铁，一定不含锌。
$(3)$锌先与硝酸银反应生成硝酸锌和银，反应实质是锌与银离子反应生成锌离子和银。待硝酸银反应完，锌再与硝酸亚铁反应生成硝酸锌和铁，反应实质是锌与亚铁离子反应生成锌离子和铁，这两个反应中硝酸根离子数目保持不变。图中①数目保持不变，说明①是硝酸根离子；②不断增多，说明②是锌离子；③一段时间后才开始减少，且③开始减少时④已经减少为零，说明③是亚铁离子$(Fe^{2+})$，④是银离子。
$(4)A$、根据解析可知，情况①时，滤渣有银，滤液的溶质有硝酸锌、硝酸银、硝酸亚铁，则金属阳离子有锌离子、亚铁离子、银离子，故选项正确。
$B$、情况②时，滤渣有银，滤液的溶质有硝酸锌、硝酸亚铁，则金属阳离子有锌离子、亚铁离子，故选项错误。
$C$、情况③时，滤渣有银、铁，滤液的溶质有硝酸锌、硝酸亚铁，则金属阳离子有锌离子、亚铁离子，故选项正确。
$D$、情况④时，滤渣有银、铁，滤液的溶质只有硝酸锌，则金属阳离子只有锌离子，故选项错误。
$E$、情况⑤时，滤渣有银、铁、锌，滤液的溶质只有硝酸锌，则金属阳离子只有锌离子，故选项正确。
故答案为：
$(1)Zn+2AgNO_{3}=Zn(NO_{3})_{2}+2Ag$；
$(2)$锌；
$(3)Fe^{2+}$；
$(4)BD$。

金属活动性顺序为$Zn \gt Fe \gt Ag$，将锌粉投入一定量硝酸亚铁和硝酸银的混合溶液中，锌优先与$AgNO_{3}$反应生成硝酸锌和银，$AgNO_{3}$反应完，若还有锌粉，锌才能与硝酸亚铁反应生成硝酸锌和铁，根据锌粉的量，可分为五种情况。
①锌粉不足，只与部分硝酸银反应，此时滤液的溶质有硝酸锌、硝酸银、硝酸亚铁，滤渣有银，滤液颜色为浅绿色；
②锌粉刚好与硝酸银完全反应，此时滤液的溶质有硝酸锌、硝酸亚铁，滤渣有银，滤液颜色为浅绿色；
③锌粉与部分硝酸亚铁反应，此时滤液的溶质有硝酸锌、硝酸亚铁，滤渣有银、铁，滤液颜色为浅绿色；
④锌粉刚好与硝酸亚铁完全反应，此时滤液的溶质只有硝酸锌，滤渣有银、铁，滤液颜色为无色；
⑤锌粉过量，此时滤液的溶质只有硝酸锌，滤渣有银、铁、锌，滤液颜色为无色。
$(1)$滤渣中只有银，则是情况①或②，一定有锌粉与硝酸银发生反应，生成硝酸锌、银，反应的化学方程式为$Zn+2AgNO_{3}=Zn(NO_{3})_{2}+2Ag$。
$(2)$根据解析可知，滤液为浅绿色，滤液中一定含有硝酸亚铁，则滤渣一定含有银，可能含有铁，一定不含锌。
$(3)$锌先与硝酸银反应生成硝酸锌和银，反应实质是锌与银离子反应生成锌离子和银。待硝酸银反应完，锌再与硝酸亚铁反应生成硝酸锌和铁，反应实质是锌与亚铁离子反应生成锌离子和铁，这两个反应中硝酸根离子数目保持不变。图中①数目保持不变，说明①是硝酸根离子；②不断增多，说明②是锌离子；③一段时间后才开始减少，且③开始减少时④已经减少为零，说明③是亚铁离子$(Fe^{2+})$，④是银离子。
$(4)A$、根据解析可知，情况①时，滤渣有银，滤液的溶质有硝酸锌、硝酸银、硝酸亚铁，则金属阳离子有锌离子、亚铁离子、银离子，故选项正确。
$B$、情况②时，滤渣有银，滤液的溶质有硝酸锌、硝酸亚铁，则金属阳离子有锌离子、亚铁离子，故选项错误。
$C$、情况③时，滤渣有银、铁，滤液的溶质有硝酸锌、硝酸亚铁，则金属阳离子有锌离子、亚铁离子，故选项正确。
$D$、情况④时，滤渣有银、铁，滤液的溶质只有硝酸锌，则金属阳离子只有锌离子，故选项错误。
$E$、情况⑤时，滤渣有银、铁、锌，滤液的溶质只有硝酸锌，则金属阳离子只有锌离子，故选项正确。
故答案为：
$(1)Zn+2AgNO_{3}=Zn(NO_{3})_{2}+2Ag$；
$(2)$锌；
$(3)Fe^{2+}$；
$(4)BD$。