A

$\because$要使$\sqrt{12-n}$有意义，
必须$12-n\geqslant 0$，即$n\leqslant 12$，
$\because \sqrt{12-n}$是整数，
$\therefore n$只能是$3$或$8$或$11$或$12$，
$\therefore$条件的$n$共有$4$个值.
故选：$A$.