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八年级数学填空题一般
题目
在数学上,对于两个正数pp和qq有三种平均数,算术平均数AA、几何平均数GG、调和平均数HH,其中A=p+q2A=\frac{p+q}{2},G=pqG=\sqrt{pq}.调和平均数中的"调和"二字来自于音乐.毕达哥拉斯学派通过研究发现,如果三根琴弦的长度pp,HH,qq满足1p−1H=1H−1q\frac{1}{p}-\frac{1}{H}=\frac{1}{H}-\frac{1}{q},再把它们绷得一样紧,并用同样的力弹拨,它们将会分别发出很调和的乐声,我们称pp,HH,qq为一组调和数,而把HH称为pp和qq的调和平均数.用含AA、GG的代数式表示HH为______.
知识点：实数的运算、二次根式分母有理化、特殊角的三角函数值、规律型：数字的变化类、零指数幂、负整数指数幂章节：第2章 实数 / 2.3 二次根式

答案与解析

答案

∵H\because H为pp和qq的调和平均数，
∴1p−1H=1H−1q\therefore \frac{1}{p}-\frac{1}{H}=\frac{1}{H}-\frac{1}{q}，
∴1p+1q=2H\therefore \frac{1}{p}+\frac{1}{q}=\frac{2}{H}，
∴p+qpq=2H\therefore \frac{p+q}{pq}=\frac{2}{H}，
∴H=pqp+q2\therefore H=\frac{pq}{\frac{p+q}{2}}，
∵A=p+q2\because A=\frac{p+q}{2}，G=pqG=\sqrt{pq}，
∴H=G2A\therefore H=\frac{{G}^{2}}{A}.
故答案为：G2A\frac{{G}^{2}}{A}.

解析

∵H\because H为pp和qq的调和平均数，
∴1p−1H=1H−1q\therefore \frac{1}{p}-\frac{1}{H}=\frac{1}{H}-\frac{1}{q}，
∴1p+1q=2H\therefore \frac{1}{p}+\frac{1}{q}=\frac{2}{H}，
∴p+qpq=2H\therefore \frac{p+q}{pq}=\frac{2}{H}，
∴H=pqp+q2\therefore H=\frac{pq}{\frac{p+q}{2}}，
∵A=p+q2\because A=\frac{p+q}{2}，G=pqG=\sqrt{pq}，
∴H=G2A\therefore H=\frac{{G}^{2}}{A}.
故答案为：G2A\frac{{G}^{2}}{A}.

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