D

$\because \sqrt{27}=3\sqrt{3}$，
$\therefore \sqrt{27}$和$\sqrt{3}$是同类二次根式，
$\therefore$说法①正确；
$\because \sqrt{81}=9$，$9$的平方根是$\pm 3$，
$\therefore \sqrt{81}$的平方根是$\pm 3$，
$\therefore$说法②不正确；
$\because -x^{2}\leqslant 0$，
$\therefore (-1$，$-x^{2})$位于$x$轴的负半轴或第三象限，
$\therefore$说法③不正确；
$\because \left(\pi -3\right)^{2}$的算术平方根是$\pi -3$，
$\therefore$说法④正确；
$\because$若$x+y=0$，则$y=-x$，
$\therefore$点$P\left(x,y\right)$在第二、四象限角平分线所在直线上，
$\therefore$说法⑤正确，
故选：$D$.