（1）如图，连接$AC$.

根据题意得：$AB=2km，BC=2km，CD=4km，AD=2\sqrt{2}km$，$AB\bot BC$，
在$Rt\triangle ABC$中，$AB=BC=2km$，$\angle ABC=90^{\circ}$，
$\therefore AC=\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}=2\sqrt{2}km$，$\angle BAC=45^{\circ}$，
在$\triangle ACD$中，$AC=AD=2\sqrt{2}km$，$CD=4km$，
$\therefore AC^{2}+AD^{2}=16=CD^{2}$，
$\therefore \triangle ACD$是直角三角形，且$\angle CAD=90^{\circ}$，
$\therefore \angle BAD=\angle BAC+\angle CAD=135^{\circ}$，
即公园，学校和小明家三地组成的$\angle DAB$的大小为$135^{\circ}$；
$(2)$由（1）得：$\triangle ACD$和$\triangle ABC$均是等腰直角三角形，
$\therefore \angle ACB=\angle ACD=45^{\circ}$，
$\therefore \angle BCD=90^{\circ}$，
$\therefore BD=\sqrt{B{C}^{2}+C{D}^{2}}=\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}=2\sqrt{5}km$，
即公园与小明家的距离为$2\sqrt{5}km$.

（1）如图，连接$AC$.

根据题意得：$AB=2km，BC=2km，CD=4km，AD=2\sqrt{2}km$，$AB\bot BC$，
在$Rt\triangle ABC$中，$AB=BC=2km$，$\angle ABC=90^{\circ}$，
$\therefore AC=\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}=2\sqrt{2}km$，$\angle BAC=45^{\circ}$，
在$\triangle ACD$中，$AC=AD=2\sqrt{2}km$，$CD=4km$，
$\therefore AC^{2}+AD^{2}=16=CD^{2}$，
$\therefore \triangle ACD$是直角三角形，且$\angle CAD=90^{\circ}$，
$\therefore \angle BAD=\angle BAC+\angle CAD=135^{\circ}$，
即公园，学校和小明家三地组成的$\angle DAB$的大小为$135^{\circ}$；
$(2)$由（1）得：$\triangle ACD$和$\triangle ABC$均是等腰直角三角形，
$\therefore \angle ACB=\angle ACD=45^{\circ}$，
$\therefore \angle BCD=90^{\circ}$，
$\therefore BD=\sqrt{B{C}^{2}+C{D}^{2}}=\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}=2\sqrt{5}km$，
即公园与小明家的距离为$2\sqrt{5}km$.