如图,每个小正方形网格的边长均为$1$.已知$A$,$B$两村庄的坐标分别是$\left(4,2\right)$,$\left(2,-2\right)$.
$(1)$根据题意,画出相应的平面直角坐标系；
$(2)$若村庄$B$,$C$关于$y$轴对称,则村庄$C$的坐标是______；
$(3)$一辆汽车在$y$轴上行驶,当行驶到点$P$时,汽车到$A$,$B$两村庄的距离和最短,请在图中画出点$P$,并求出此时汽车到$A$,$B$两村庄的距离和.