B

$\because$二次函数$y=2x^{2}+bx+1$的图象关于直线$x=\frac{3}{2}$对称，
$\therefore$该二次函数的对称轴为直线$x=\frac{3}{2}$，
$\therefore -\frac{b}{2×2}=\frac{3}{2}$，
$\therefore b=-6$，
$\therefore$二次函数解析式为$y=2x^{2}-6x+1$，
把$\left(1,k\right)$代入$y=2x^{2}-6x+1$中得：$k=2\times 1^{2}-6\times 1+1=-3$，
故选：$B$.