（1）当$y=0$时，$\frac{1}{2}{x}^{2}+2x-6=0$，
解得：$x_{1}=-6$，$x_{2}=2$，
$\therefore A\left(-6,0\right)$，$B\left(2,0\right)$，
当$x=0$时，$y=-6$，
$\therefore C\left(0,-6\right)$；
$(2)\because B\left(2,0\right),C\left(0,-6\right)$，
设直线$BC$的表达式为：$y=kx+b$；
将$B\left(2,0\right)$，$C\left(0,-6\right)$代入得：
$\left\{\begin{array}{l}2k+b=0\\ 0+b=-6\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}k=3\\ b=-6\end{array}\right.$，
$\therefore$直线$BC$的函数表达式为$y=3x-6$；
$(3)$在直线$l$上存在点$E$，使得以点$D$，$C$，$B$，$E$为顶点的四边形为菱形；理由如下：
设直线$AC$的表达式为：$y={k\’}x+{b\’}$；
将$A\left(-6,0\right)$，$C\left(0,-6\right)$代入得：
$\left\{\begin{array}{l}-6k′+b′=0\\ 0+b′=-6\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}k′=-1\\ b′=-6\end{array}\right.$，
故直线$AC$的表达式为：$y=-x-6$；
设点$D$的坐标为$\left(m,-m-6\right)$，其中$-6 \lt m \lt 0$，
$\because B\left(2,0\right)$，$C\left(0,-6\right)$，
$\therefore BD^{2}=\left(m-2\right)^{2}+\left(m+6\right)^{2}$，$BC^{2}=2^{2}+6^{2}=40$，$DC^{2}=m^{2}+\left(-m-6+6\right)^{2}=2m^{2}$，
$\because DE$∥$BC$，
$\therefore$当$DE=BC$时，以点$D$，$C$，$B$，$E$为顶点的四边形为平行四边形，
分两种情况：
如图$1$，当$BD=BC$时，四边形$BDEC$为菱形，

$\therefore BD^{2}=BC^{2}$，
$\therefore \left(m-2\right)^{2}+\left(m+6\right)^{2}=40$，
解得：$m_{1}=-4$，$m_{2}=0(舍去)$，
$\therefore$点$D$的坐标为$\left(-4,-2\right)$，
$\because$点$B$向左移动$2$各单位长度，向下移动$6$个单位长度得到点$C$，
$\therefore$点$D$向左移动$2$各单位长度，向下移动$6$个单位长度得到点$E$，
$\therefore$点$E$的坐标为$\left(-6,-8\right)$；
如图$2$，当$CD=CB$时，四边形$CBED$为菱形，

$\therefore CD^{2}=CB^{2}$，
$\therefore 2m^{2}=40$，
解得：$m_{1}=-2\sqrt{5}，m_{2}=2\sqrt{5}($舍去），
$\therefore$点$D$的坐标为$(-2\sqrt{5}，2\sqrt{5}-6)$，
$\because$点$C$向右移动$2$个单位长度，向上移动$6$个单位长度得到点$B$，
$\therefore$点$D$向右移动$2$个单位长度，向上移动$6$个单位长度得到点$E$，
$\therefore$点$E$的坐标为$(2-2\sqrt{5}，2\sqrt{5})$；
综上，存在点$E$，使得以点$D$，$C$，$B$，$E$为顶点的四边形为菱形，点$E$的坐标为$\left(-6,-8\right)$或$(2-2\sqrt{5}，2\sqrt{5})$.

（1）当$y=0$时，$\frac{1}{2}{x}^{2}+2x-6=0$，
解得：$x_{1}=-6$，$x_{2}=2$，
$\therefore A\left(-6,0\right)$，$B\left(2,0\right)$，
当$x=0$时，$y=-6$，
$\therefore C\left(0,-6\right)$；
$(2)\because B\left(2,0\right),C\left(0,-6\right)$，
设直线$BC$的表达式为：$y=kx+b$；
将$B\left(2,0\right)$，$C\left(0,-6\right)$代入得：
$\left\{\begin{array}{l}2k+b=0\\ 0+b=-6\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}k=3\\ b=-6\end{array}\right.$，
$\therefore$直线$BC$的函数表达式为$y=3x-6$；
$(3)$在直线$l$上存在点$E$，使得以点$D$，$C$，$B$，$E$为顶点的四边形为菱形；理由如下：
设直线$AC$的表达式为：$y={k\’}x+{b\’}$；
将$A\left(-6,0\right)$，$C\left(0,-6\right)$代入得：
$\left\{\begin{array}{l}-6k′+b′=0\\ 0+b′=-6\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}k′=-1\\ b′=-6\end{array}\right.$，
故直线$AC$的表达式为：$y=-x-6$；
设点$D$的坐标为$\left(m,-m-6\right)$，其中$-6 \lt m \lt 0$，
$\because B\left(2,0\right)$，$C\left(0,-6\right)$，
$\therefore BD^{2}=\left(m-2\right)^{2}+\left(m+6\right)^{2}$，$BC^{2}=2^{2}+6^{2}=40$，$DC^{2}=m^{2}+\left(-m-6+6\right)^{2}=2m^{2}$，
$\because DE$∥$BC$，
$\therefore$当$DE=BC$时，以点$D$，$C$，$B$，$E$为顶点的四边形为平行四边形，
分两种情况：
如图$1$，当$BD=BC$时，四边形$BDEC$为菱形，

$\therefore BD^{2}=BC^{2}$，
$\therefore \left(m-2\right)^{2}+\left(m+6\right)^{2}=40$，
解得：$m_{1}=-4$，$m_{2}=0(舍去)$，
$\therefore$点$D$的坐标为$\left(-4,-2\right)$，
$\because$点$B$向左移动$2$各单位长度，向下移动$6$个单位长度得到点$C$，
$\therefore$点$D$向左移动$2$各单位长度，向下移动$6$个单位长度得到点$E$，
$\therefore$点$E$的坐标为$\left(-6,-8\right)$；
如图$2$，当$CD=CB$时，四边形$CBED$为菱形，

$\therefore CD^{2}=CB^{2}$，
$\therefore 2m^{2}=40$，
解得：$m_{1}=-2\sqrt{5}，m_{2}=2\sqrt{5}($舍去），
$\therefore$点$D$的坐标为$(-2\sqrt{5}，2\sqrt{5}-6)$，
$\because$点$C$向右移动$2$个单位长度，向上移动$6$个单位长度得到点$B$，
$\therefore$点$D$向右移动$2$个单位长度，向上移动$6$个单位长度得到点$E$，
$\therefore$点$E$的坐标为$(2-2\sqrt{5}，2\sqrt{5})$；
综上，存在点$E$，使得以点$D$，$C$，$B$，$E$为顶点的四边形为菱形，点$E$的坐标为$\left(-6,-8\right)$或$(2-2\sqrt{5}，2\sqrt{5})$.