如图,抛物线$y=\frac{1}{2}{x}^{2}+2x-6$与$x$轴交于$A$,$B$两点（点$A$在点$B$的左侧）,与$y$轴交于点$C$,连接$AC$,$BC$.
$(1)$求$A$、$B$,$C$三点的坐标；
$(2)$求直线$BC$的函数表达式；
$(3)$点$P$是直线$AC$下方抛物线上的一个动点,过点$P$作$BC$的平行线$l$,交线段$AC$于点$D$.在直线$l$上是否存在点$E$,使得以点$D$,$C$,$B$,$E$为顶点的四边形为菱形,若存在,求出点$E$的坐标,若不存在,请说明理由.