$\because$函数$y=2x^{2}$的顶点为$\left(0,0\right)$，

$\therefore$向上平移$5$个单位，再向右平移$1$个单位的顶点为$\left(-5,1\right)$，

$\therefore$将函数$y=2x^{2}$的图象向上平移$5$个单位，再向右平移$1$个单位，得到抛物线的解析式为$y=2\left(x-1\right)^{2}+5$，

故答案为$y=2\left(x-1\right)^{2}+5$.

$\because$函数$y=2x^{2}$的顶点为$\left(0,0\right)$，

$\therefore$向上平移$5$个单位，再向右平移$1$个单位的顶点为$\left(-5,1\right)$，

$\therefore$将函数$y=2x^{2}$的图象向上平移$5$个单位，再向右平移$1$个单位，得到抛物线的解析式为$y=2\left(x-1\right)^{2}+5$，

故答案为$y=2\left(x-1\right)^{2}+5$.