$\left(1\right)\because B$为原点，$A$、$B$两点之间的距离是$2$，$B$、$C$两点之间的距离是$1$，
$\therefore A$对应的数是$-2$，$C$对应的数是$1$，
$\therefore p=-2+0+1=-1$；
$(2)\because A$、$B$两点之间的距离是$2$，$B$、$C$两点之间的距离是$1$，
$\therefore A$、$C$两点之间的距离是$2+1=3$，
又$A$、$C$表示的数互为相反数，
$\therefore A$对应的数是$-\frac{3}{2}$，$C$对应的数是$\frac{3}{2}$，
$\therefore B$对应的数为$-\frac{3}{2}+2=\frac{1}{2}$，
$\therefore$原点在点$B$的左侧.
故答案为：左；
$(3)\because A$、$B$两点之间的距离是$2$，$B$、$C$两点之间的距离是$1$，
$\therefore A$、$C$两点之间的距离是$2+1=3$，
当$A$为原点时，$A$表示的数是$0$，$B$表示的数是$2$，$C$表示的数是$3$，
此时$p=0+2+3=5$，不符合题意，舍去；
当$B$为原点时，$A$表示的数是$-2$，$B$表示的数是$0$，$C$表示的数是$1$，
此时$p=-2+0+1=-1$，不符合题意，舍去；
当$C$为原点时，$A$表示的数是$-3$，$B$表示的数是$-1$，$C$表示的数是$0$，
此时$p=-2+\left(-1\right)+0=-3$，符合题意，
综上，若$p=-4$，则原点是$A$、$B$、$C$三点中的点$C$.
故答案为：$C$.
$(4)$当原点在$A$左侧时，
$\because$原点在数轴上距$A$点$1$个单位长，
$\therefore$点$A$、$B$、$C$表示的数依次是：$1$、$3$、$4$，
则$p=1+3+4=8$；
当原点在$A$右侧时，
$\because$原点在数轴上距$A$点$1$个单位长，
$\therefore$点$A$、$B$、$C$表示的数依次是：$-1$、$1$、$2$，
则$p=-1+1+2=2$；
所以点$p$的值为$8$或$2$.

$\left(1\right)\because B$为原点，$A$、$B$两点之间的距离是$2$，$B$、$C$两点之间的距离是$1$，
$\therefore A$对应的数是$-2$，$C$对应的数是$1$，
$\therefore p=-2+0+1=-1$；
$(2)\because A$、$B$两点之间的距离是$2$，$B$、$C$两点之间的距离是$1$，
$\therefore A$、$C$两点之间的距离是$2+1=3$，
又$A$、$C$表示的数互为相反数，
$\therefore A$对应的数是$-\frac{3}{2}$，$C$对应的数是$\frac{3}{2}$，
$\therefore B$对应的数为$-\frac{3}{2}+2=\frac{1}{2}$，
$\therefore$原点在点$B$的左侧.
故答案为：左；
$(3)\because A$、$B$两点之间的距离是$2$，$B$、$C$两点之间的距离是$1$，
$\therefore A$、$C$两点之间的距离是$2+1=3$，
当$A$为原点时，$A$表示的数是$0$，$B$表示的数是$2$，$C$表示的数是$3$，
此时$p=0+2+3=5$，不符合题意，舍去；
当$B$为原点时，$A$表示的数是$-2$，$B$表示的数是$0$，$C$表示的数是$1$，
此时$p=-2+0+1=-1$，不符合题意，舍去；
当$C$为原点时，$A$表示的数是$-3$，$B$表示的数是$-1$，$C$表示的数是$0$，
此时$p=-2+\left(-1\right)+0=-3$，符合题意，
综上，若$p=-4$，则原点是$A$、$B$、$C$三点中的点$C$.
故答案为：$C$.
$(4)$当原点在$A$左侧时，
$\because$原点在数轴上距$A$点$1$个单位长，
$\therefore$点$A$、$B$、$C$表示的数依次是：$1$、$3$、$4$，
则$p=1+3+4=8$；
当原点在$A$右侧时，
$\because$原点在数轴上距$A$点$1$个单位长，
$\therefore$点$A$、$B$、$C$表示的数依次是：$-1$、$1$、$2$，
则$p=-1+1+2=2$；
所以点$p$的值为$8$或$2$.