（1）如图所示，已知点$C$在$AB$上，$AC=2BC$.

$\because AB=24$，$AC+BC=AB$，$AC=2BC$，
$\therefore 2BC+BC=24$，即$3BC=24$，
$\therefore BC=8$，$AC=2\times 8=16$；
$(2)\because AB=15$，$AC=2BC$，
$\therefore AB=AC+BC=3BC=15$，
$\therefore BC=5$，$AC=10$.
①如图所示.

$\because$点$E$为$BC$的中点，
$\therefore CE=\frac{1}{2}BC=\frac{5}{2}$，
$\because DE=6$，
$\therefore CD=DE-CE=6-\frac{5}{2}=\frac{7}{2}=3.5$，
$\therefore AD=AC-CD=10-3.5=6.5$；
②分两种情况：
$(i)$如图$1$所示，当点$F$在点$C$右侧时，

$\because AC=10$，$CF=3$，
$\therefore AF=AC+CF=10+3=13$，
$\because AF=3AD$，
$\therefore AD=\frac{1}{3}AF=\frac{13}{3}$，
$\because DE=6$，
$\therefore AE=AD+DE=\frac{13}{3}+6=\frac{31}{3}$；
$(ii)$如图$2$所示，当点$F$在点$C$左侧时，

$\because AC=10$，$CF=3$，
$\therefore AF=AC-CF=10-3=7$，
$\because AF=3AD$，
$\therefore AD=\frac{1}{3}AF=\frac{7}{3}$，
$\therefore AE=AD+DE=\frac{7}{3}+6=\frac{25}{3}$，
综上所述，$AE$的长为$\frac{31}{3}$或$\frac{25}{3}$.

（1）如图所示，已知点$C$在$AB$上，$AC=2BC$.

$\because AB=24$，$AC+BC=AB$，$AC=2BC$，
$\therefore 2BC+BC=24$，即$3BC=24$，
$\therefore BC=8$，$AC=2\times 8=16$；
$(2)\because AB=15$，$AC=2BC$，
$\therefore AB=AC+BC=3BC=15$，
$\therefore BC=5$，$AC=10$.
①如图所示.

$\because$点$E$为$BC$的中点，
$\therefore CE=\frac{1}{2}BC=\frac{5}{2}$，
$\because DE=6$，
$\therefore CD=DE-CE=6-\frac{5}{2}=\frac{7}{2}=3.5$，
$\therefore AD=AC-CD=10-3.5=6.5$；
②分两种情况：
$(i)$如图$1$所示，当点$F$在点$C$右侧时，

$\because AC=10$，$CF=3$，
$\therefore AF=AC+CF=10+3=13$，
$\because AF=3AD$，
$\therefore AD=\frac{1}{3}AF=\frac{13}{3}$，
$\because DE=6$，
$\therefore AE=AD+DE=\frac{13}{3}+6=\frac{31}{3}$；
$(ii)$如图$2$所示，当点$F$在点$C$左侧时，

$\because AC=10$，$CF=3$，
$\therefore AF=AC-CF=10-3=7$，
$\because AF=3AD$，
$\therefore AD=\frac{1}{3}AF=\frac{7}{3}$，
$\therefore AE=AD+DE=\frac{7}{3}+6=\frac{25}{3}$，
综上所述，$AE$的长为$\frac{31}{3}$或$\frac{25}{3}$.