B

①$y=-2x+1$是一次函数，
②$y=x$是一次函数，
③$y=2x^{2}+1$的自变量$x$的次数为$2$，不是一次函数，是二次函数，
④$y=\frac{3}{2x+1}$，不是一次函数，
所以上列函数关系式，其中一次函数有$2$个，
故选：$B$.