（1）由题意得$m=3\left(m-2\right)$，解得$m=3$，
$\therefore k=1\times 3=3$，
即反比例函数的解析式为$y=\frac{3}{x}$；
$(2)$由图象和两函数交点坐标$A\left(1,3\right)$，$B\left(3,1\right)$可知，不等式的解集为：$1 \lt x \lt 3$或$x \lt 0$；
$(3)$如图，过点$C$作$x$轴的平行线交直线$AB$于点$D$，

由反比例函数图象的中心对称性质可知$C\left(-1,-3\right)$，
$\because A\left(1,3\right)$，$B\left(3,1\right)$在一次函数$y_{1}=ax+b\left(a\neq 0\right)$的图象上，
$\left\{\begin{array}{l}{a+b=3}\\{3a+b=1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=4}\end{array}\right.$，
$\therefore$直线$AB$解析式为：$y=-x+4$，
当$y=-3$时，$x=7$，
$\therefore D\left(7,-3\right)$，
$\therefore S_{\triangle ABC}=S_{\triangle ACD}-S_{\triangle BCD}=\frac{1}{2}\times 8\times 6-\frac{1}{2}×8×4=8$.

（1）由题意得$m=3\left(m-2\right)$，解得$m=3$，
$\therefore k=1\times 3=3$，
即反比例函数的解析式为$y=\frac{3}{x}$；
$(2)$由图象和两函数交点坐标$A\left(1,3\right)$，$B\left(3,1\right)$可知，不等式的解集为：$1 \lt x \lt 3$或$x \lt 0$；
$(3)$如图，过点$C$作$x$轴的平行线交直线$AB$于点$D$，

由反比例函数图象的中心对称性质可知$C\left(-1,-3\right)$，
$\because A\left(1,3\right)$，$B\left(3,1\right)$在一次函数$y_{1}=ax+b\left(a\neq 0\right)$的图象上，
$\left\{\begin{array}{l}{a+b=3}\\{3a+b=1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=4}\end{array}\right.$，
$\therefore$直线$AB$解析式为：$y=-x+4$，
当$y=-3$时，$x=7$，
$\therefore D\left(7,-3\right)$，
$\therefore S_{\triangle ABC}=S_{\triangle ACD}-S_{\triangle BCD}=\frac{1}{2}\times 8\times 6-\frac{1}{2}×8×4=8$.