如图,一次函数$y=ax+b$的图象与$x$轴交于点$A$,与反比例函数$y=\frac{k}{x}$在第一象限的图象交于点$B\left(n,4\right)$,其中$a$,$b$满足$\sqrt{a-1}+|b-3|=0$.
$(1)$直接写出$k$,$n$的值及点$A$的坐标；
$(2)$点$D$在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上,其横坐标为$m$,且$-4 \lt m \lt -1$,过点$D$的正比例函数图象与反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象的另一个交点为$C$,连接$BC$,$AD$,四边形$ABCD$的面积可以为$12$吗?若可以,求出$m$的值；若不可以,请说明理由；
$(3)$点$P$是$x$轴负半轴上一点,以$BP$为边向线段$BP$右侧作等边$\triangle BPF$,若点$F$在双曲线$y=\frac{k}{x}(x＞0)$关于$x$轴对称的图象上,求点$P$的坐标.