如图,直线$y=2x+3$与$y$轴交于$A$点,与反比例函数$y=\frac{k}{x}(x \gt 0)$的图象交于点$B$,过点$B$作$BC\bot x$轴于点$C$,且$C$点的坐标为$\left(1,0\right)$.
$(1)$求反比例函数的解析式；
$(2)$点$D\left(a,1\right)$是反比例函数$y=\frac{k}{x}(x \gt 0)$图象上的点,在$x$轴上是否存在点$P$,使得$PB+PD$最小?若存在,求出点$P$的坐标；若不存在,请说明理由.