$\left(1\right)\because BC\bot x$轴于点$C$，且$C$点的坐标为$\left(1,0\right)$，
$\therefore$在直线$y=2x+3$中，当$x=1$时，$y=2+3=5$，
$\therefore$点$B$的坐标为$\left(1,5\right)$，
又$\because$点$B\left(1,5\right)$在反比例函数$y=\frac{k}{x}$上，
$\therefore k=1\times 5=5$，
$\therefore$反比例函数的解析式为：$y=\frac{5}{x}$；
$(2)$将点$D\left(a,1\right)$代入$y=\frac{5}{x}$，得：$a=5$，
$\therefore$点$D$坐标为$\left(5,1\right)$
设点$D\left(5,1\right)$关于$x$轴的对称点为${D\’}\left(5,-1\right)$，
过点$B\left(1,5\right)$、点${D\’}\left(5,-1\right)$的直线解析式为：$y=kx+b$，
可得：$\left\{\begin{array}{l}{k+b=5}\\{5k+b=-1}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{3}{2}}\\{b=\frac{13}{2}}\end{array}\right.$，
$\therefore$直线$BD\’$的解析式为：$y=-\frac{3}{2}x+\frac{13}{2}$，
根据题意知，直线$BD\’$与$x$轴的交点即为所求点$P$，
当$y=0$时，得：$-\frac{3}{2}x+\frac{13}{2}=0$，解得：$x=\frac{13}{3}$，
故点$P$的坐标为（$\frac{13}{3}$，$0)$.

$\left(1\right)\because BC\bot x$轴于点$C$，且$C$点的坐标为$\left(1,0\right)$，
$\therefore$在直线$y=2x+3$中，当$x=1$时，$y=2+3=5$，
$\therefore$点$B$的坐标为$\left(1,5\right)$，
又$\because$点$B\left(1,5\right)$在反比例函数$y=\frac{k}{x}$上，
$\therefore k=1\times 5=5$，
$\therefore$反比例函数的解析式为：$y=\frac{5}{x}$；
$(2)$将点$D\left(a,1\right)$代入$y=\frac{5}{x}$，得：$a=5$，
$\therefore$点$D$坐标为$\left(5,1\right)$
设点$D\left(5,1\right)$关于$x$轴的对称点为${D\’}\left(5,-1\right)$，
过点$B\left(1,5\right)$、点${D\’}\left(5,-1\right)$的直线解析式为：$y=kx+b$，
可得：$\left\{\begin{array}{l}{k+b=5}\\{5k+b=-1}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{3}{2}}\\{b=\frac{13}{2}}\end{array}\right.$，
$\therefore$直线$BD\’$的解析式为：$y=-\frac{3}{2}x+\frac{13}{2}$，
根据题意知，直线$BD\’$与$x$轴的交点即为所求点$P$，
当$y=0$时，得：$-\frac{3}{2}x+\frac{13}{2}=0$，解得：$x=\frac{13}{3}$，
故点$P$的坐标为（$\frac{13}{3}$，$0)$.