$\left\{\begin{array}{l}{2x-1≤5①}\\{x-m＞0②}\end{array}\right.$
解不等式①可得$x\leqslant 3$，
解不等式②可得$x \gt m$，
由题意可知原不等式组有解，
$\therefore$原不等式组的解集为$m \lt x\leqslant 3$，
$\because$该不等式组恰好有三个整数解，
$\therefore$整数解为$1$，$2$，$3$，
$\therefore 0\leqslant m \lt 1$.
故答案为：$0\leqslant m \lt 1$.

$\left\{\begin{array}{l}{2x-1≤5①}\\{x-m＞0②}\end{array}\right.$
解不等式①可得$x\leqslant 3$，
解不等式②可得$x \gt m$，
由题意可知原不等式组有解，
$\therefore$原不等式组的解集为$m \lt x\leqslant 3$，
$\because$该不等式组恰好有三个整数解，
$\therefore$整数解为$1$，$2$，$3$，
$\therefore 0\leqslant m \lt 1$.
故答案为：$0\leqslant m \lt 1$.