如图,一艘渔船位于码头$M$的南偏东$45^{\circ}$方向,距离码头$120$海里的$B$处,渔船从$B$处沿正北方向航行一段距离后,到达位于码头北偏东$60^{\circ}$方向的$A$处.
$(1)$求渔船从$B$到$A$的航行过程中与码头$M$之间的最小距离.
$(2)$若渔船以$20$海里$/$小时的速度从$A$沿$AM$方向行驶,求渔船从$A$到达码头$M$的航行时间.