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九年级数学解答题一般
题目
某公园有一景观湖泊,围绕湖泊修建了如图所示的步道.已知点AA在点CC的正南方,点BB在点CC的东南方向,点DD在点AA的正西方,点DD在点CC的南偏西60∘60^{\circ}方向上,点BB在点AA北偏东37∘37^{\circ}方向上,若AB=200AB=200米.(参考数据:2≈1.41\sqrt{2}≈1.41,3≈1.73\sqrt{3}≈1.73,sin⁡37∘≈0.6,cos⁡37∘≈0.8)\sin 37^{\circ}\approx 0.6,\cos 37^{\circ}\approx 0.8)
(1)(1)求CDCD的长度；
(2)(2)小聪和爸爸到公园游玩,小聪选择沿路线A−D−CA-D-C慢跑到点CC,他的平均速度是400400米//分.爸爸选择沿路线A−B−CA-B-C散步到点CC,他的平均速度为100100米//分钟,若两人同时出发,请通过计算说明小聪和爸爸谁会先到达点CC?
知识点：解直角三角形的应用章节：第25章 锐角的三角比 / 第2节 解直角三角形 / 25.4 解直角三角形的应用

答案与解析

答案

（1）如图，连接ACAC，过点BB作BF⊥ACBF\bot AC于点FF，

已知点AA在点CC的正南方，点BB在点CC的东南方向，点DD在点AA的正西方，点DD在点CC的南偏西60∘60^{\circ}方向上，点BB在点AA北偏东37∘37^{\circ}方向上，AB=200AB=200米，
∴∠MCA=90∘\therefore \angle MCA=90^{\circ}，∠CAD=90∘\angle CAD=90^{\circ}，∠BAC=37∘\angle BAC=37^{\circ}，∠DCA=60∘\angle DCA=60^{\circ}，∠ACB=45∘\angle ACB=45^{\circ}，
∴BF=AB⋅sin⁡∠BACBF=AB⋅sin⁡∠BAC=200⋅sin⁡37∘≈200×0.6=120(米)\therefore BF=AB\cdot \sin \angle BACBF=AB\cdot \sin \angle BAC=200\cdot \sin 37^{\circ}\approx 200\times 0.6=120(米)，
AF=AB⋅cos⁡∠BAC=200⋅cos⁡37∘≈200×0.8=160(米)AF=AB\cdot \cos \angle BAC=200\cdot \cos 37^{\circ}\approx 200\times 0.8=160(米)，
∴CF=BFtan∠ACB=120tan45°=120(\therefore CF=\frac{BF}{tan∠ACB}=\frac{120}{tan45°}=120(米），
∴AC=AF+CF=160+120=280(米)\therefore AC=AF+CF=160+120=280(米)，
∴CD=CAcos∠ACD=280cos60°=280÷12=560(\therefore CD=\frac{CA}{cos∠ACD}=\frac{280}{cos60°}=280÷\frac{1}{2}=560(米），
答：CDCD的长度为560560米；
(2)∵CD=560(2)\because CD=560米，∠DCA=60∘\angle DCA=60^{\circ}，
∴DA=CDsin∠ACD=560×32=2803≈280×1.73=484.4(\therefore DA=CDsin∠ACD=560×\frac{\sqrt{3}}{2}=280\sqrt{3}≈280×1.73=484.4(米），
∴\therefore小聪选择沿路线A−D−CA-D-C慢跑到点CC，所需要的时间为：(484.4+560)÷400≈2.6(分)\left(484.4+560\right)\div 400\approx 2.6(分)，
∵BC=2BF=1202≈169.2(\because BC=\sqrt{2}BF=120\sqrt{2}≈169.2(米），
所以爸爸选择沿路线A−B−CA-B-C散步到点CC，所需要的时间为：(200+169.2)÷100≈3.7(分)\left(200+169.2\right)\div 100\approx 3.7(分)，
∵2.6<3.7\because 2.6 \lt 3.7，
答：小聪先到达点CC.

解析

（1）如图，连接ACAC，过点BB作BF⊥ACBF\bot AC于点FF，

已知点AA在点CC的正南方，点BB在点CC的东南方向，点DD在点AA的正西方，点DD在点CC的南偏西60∘60^{\circ}方向上，点BB在点AA北偏东37∘37^{\circ}方向上，AB=200AB=200米，
∴∠MCA=90∘\therefore \angle MCA=90^{\circ}，∠CAD=90∘\angle CAD=90^{\circ}，∠BAC=37∘\angle BAC=37^{\circ}，∠DCA=60∘\angle DCA=60^{\circ}，∠ACB=45∘\angle ACB=45^{\circ}，
∴BF=AB⋅sin⁡∠BACBF=AB⋅sin⁡∠BAC=200⋅sin⁡37∘≈200×0.6=120(米)\therefore BF=AB\cdot \sin \angle BACBF=AB\cdot \sin \angle BAC=200\cdot \sin 37^{\circ}\approx 200\times 0.6=120(米)，
AF=AB⋅cos⁡∠BAC=200⋅cos⁡37∘≈200×0.8=160(米)AF=AB\cdot \cos \angle BAC=200\cdot \cos 37^{\circ}\approx 200\times 0.8=160(米)，
∴CF=BFtan∠ACB=120tan45°=120(\therefore CF=\frac{BF}{tan∠ACB}=\frac{120}{tan45°}=120(米），
∴AC=AF+CF=160+120=280(米)\therefore AC=AF+CF=160+120=280(米)，
∴CD=CAcos∠ACD=280cos60°=280÷12=560(\therefore CD=\frac{CA}{cos∠ACD}=\frac{280}{cos60°}=280÷\frac{1}{2}=560(米），
答：CDCD的长度为560560米；
(2)∵CD=560(2)\because CD=560米，∠DCA=60∘\angle DCA=60^{\circ}，
∴DA=CDsin∠ACD=560×32=2803≈280×1.73=484.4(\therefore DA=CDsin∠ACD=560×\frac{\sqrt{3}}{2}=280\sqrt{3}≈280×1.73=484.4(米），
∴\therefore小聪选择沿路线A−D−CA-D-C慢跑到点CC，所需要的时间为：(484.4+560)÷400≈2.6(分)\left(484.4+560\right)\div 400\approx 2.6(分)，
∵BC=2BF=1202≈169.2(\because BC=\sqrt{2}BF=120\sqrt{2}≈169.2(米），
所以爸爸选择沿路线A−B−CA-B-C散步到点CC，所需要的时间为：(200+169.2)÷100≈3.7(分)\left(200+169.2\right)\div 100\approx 3.7(分)，
∵2.6<3.7\because 2.6 \lt 3.7，
答：小聪先到达点CC.

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