（1）如图，作$AB$的垂直平分线$MN$，交弧于$C$，
连接$BC$，作$BC$的垂直平分线$EF$，
$MN$与$EF$相交于$O$，
点$O$就是所求的圆心；

$(2)$连接$OA$，
设这个拱桥的半径为$r m$，则$OD=\left(r-1\right)m$，
$\therefore AD=BD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}\times 10=5m$，
在$Rt\triangle OAD$中，$AD=5m$，$OD=\left(r-1\right)m$，
由勾股定理得：$OA^{2}=AD^{2}+OD^{2}$，
即$r^{2}=5^{2}+\left(r-1\right)^{2}$，
$\therefore r=13$.
这个拱桥所在圆的直径长为$13m$.

$(1)$根据弦的垂直平分线都经过圆心来作.作$AB$的垂直平分线$MN$，交弧于$C$，连接$BC$，作$BC$的垂直平分线$EF$，$MN$与$EF$相交于$O$，点$O$就是所求的圆心.
$(2)$连接$OC$，设这个门拱的半径为$r m$，则$OD=\left(r-1\right)m$，根据垂径定理得到$AD=BD=\frac{1}{2}AB$，在$Rt\triangle OAD$中，由勾股定理得$OA^{2}=AD^{2}+OD^{2}$，然后即可得到关于$r$的方程，解方程即可求出$r$.

【点评】

本题考查了垂径定理的应用，勾股定理的应用，解答此题关键是连接$OC$，构造出直角三角形利用勾股定理解答.

（1）如图，作$AB$的垂直平分线$MN$，交弧于$C$，
连接$BC$，作$BC$的垂直平分线$EF$，
$MN$与$EF$相交于$O$，
点$O$就是所求的圆心；

$(2)$连接$OA$，
设这个拱桥的半径为$r m$，则$OD=\left(r-1\right)m$，
$\therefore AD=BD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}\times 10=5m$，
在$Rt\triangle OAD$中，$AD=5m$，$OD=\left(r-1\right)m$，
由勾股定理得：$OA^{2}=AD^{2}+OD^{2}$，
即$r^{2}=5^{2}+\left(r-1\right)^{2}$，
$\therefore r=13$.
这个拱桥所在圆的直径长为$13m$.

$(1)$根据弦的垂直平分线都经过圆心来作.作$AB$的垂直平分线$MN$，交弧于$C$，连接$BC$，作$BC$的垂直平分线$EF$，$MN$与$EF$相交于$O$，点$O$就是所求的圆心.
$(2)$连接$OC$，设这个门拱的半径为$r m$，则$OD=\left(r-1\right)m$，根据垂径定理得到$AD=BD=\frac{1}{2}AB$，在$Rt\triangle OAD$中，由勾股定理得$OA^{2}=AD^{2}+OD^{2}$，然后即可得到关于$r$的方程，解方程即可求出$r$.

【点评】

本题考查了垂径定理的应用，勾股定理的应用，解答此题关键是连接$OC$，构造出直角三角形利用勾股定理解答.