在同一平面内,我们把有公共顶点和一条公共边的两个角称为"共边角".例如:$\angle AOB$和$\angle BOC$都有公共顶点$O$和一条公共边$OB$,所以这两个角是"共边角".

【问题解决】:
$(1)$当两个"共边角"为$60^{\circ}$和$30^{\circ}$时,它们非公共边的两边的夹角是______$^{\circ}$,这两个"共边角"的平分线的夹角度数为______$^{\circ}.$
$(2)$若两个"共边角"非公共边的两边所成的角是直角,则这两个角的平分线的夹角度数为______$^{\circ}.$
$(3)$若$OD$、$OE$分别平分"共边角"$\angle AOC$和$\angle BOC$,试猜想$\angle DOE$与$\angle AOB$的关系,并以图①或图②为例说明理由.
【知识迁移】:
$(4)$在同一条直线上,我们把有一个公共端点的两条线段称为"共端点线段".例如:$AB$和$BC$都有公共端点$B$,所以这两条线段是"共端点线段"若两条"共端点线段"的长度分别为$m$和$n$,则这两条线段的中点之间的距离为______.