阅读下列材料:
在自然数中,一个四位数,记千位数字与个位数字之和为$x$,十位数字与百位数字之和为$y$.如果$x=y$,那么称这个四位数为"对称四位数".
$(1)$在四位数$2112$与$4051$中,其中______是"对称四位数"；
$(2)$最小的"对称四位数"是______；
$(3)$一个"对称四位数"$M$,它的百位数字是千位数字$a$的$3$倍,个位数字与十位数字之和为$8$,且千位数字$a$使得不等式组$\left\{\begin{array}{c}x-4≤0\\ x＞\frac{a}{3}\;\;\;\;\end{array}\right.$恰有$4$个整数解,请求出所有满足条件"对称四位数"$M$的值.