B

$\because y+23-\frac{1}{2021}(y+21)=m$，
$\therefore (y+21)+2-\frac{1}{2021}(y+21)=m$，
$\because$关于$x$的方程$x+2-\frac{1}{2021}x=m$的解是$x=21$，
$\therefore$关于$y$的一元一次方程$y+23-\frac{1}{2021}(y+21)=m$的解满足$y+21=21$，
$\therefore y=0$，
故选：$B$.