$(1)$证明：$\Delta =\left[-\left(m+3\right)\right]^{2}-4\times 1\times 3m=m^{2}-6m+9=\left(m-3\right)^{2}$.
$\because \left(m-3\right)^{2}\geqslant 0$，即$\Delta \geqslant 0$，
$\therefore$无论$m$取任何实数，方程总有实数根；
$(2)$当腰为$4$时，
把$x=4$代入$x^{2}-\left(m+3\right)x+3m=0$，
得，$16-4m-12+3m=0$，解得$m=4$；
当底为$4$时，
则程$x^{2}-\left(m+3\right)x+3m=0$有两相等的实数根，
$\therefore \Delta =0$，
$\therefore \left(m-3\right)^{2}=0$，
$\therefore m=3$，
综上所述，$m$的值为$4$或$3$.

$(1)$证明：$\Delta =\left[-\left(m+3\right)\right]^{2}-4\times 1\times 3m=m^{2}-6m+9=\left(m-3\right)^{2}$.
$\because \left(m-3\right)^{2}\geqslant 0$，即$\Delta \geqslant 0$，
$\therefore$无论$m$取任何实数，方程总有实数根；
$(2)$当腰为$4$时，
把$x=4$代入$x^{2}-\left(m+3\right)x+3m=0$，
得，$16-4m-12+3m=0$，解得$m=4$；
当底为$4$时，
则程$x^{2}-\left(m+3\right)x+3m=0$有两相等的实数根，
$\therefore \Delta =0$，
$\therefore \left(m-3\right)^{2}=0$，
$\therefore m=3$，
综上所述，$m$的值为$4$或$3$.