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七年级数学填空题一般
题目
【项目式学习】:根据素材,探索完成任务.
材料一:简单多面体:由若干个平面多边形围成的空间图形,如图的几何体都是简单多面体.


简单多面体顶点数(V)\left(V\right)面数(F)\left(F\right)棱数(E)\left(E\right)
四面体444466
长方体88661212
正八面体66881212
正十二面体202012123030
材料二:1818世纪瑞士数学家欧拉发现简单多面体中顶点数(V)\left(V\right)、面数(F)\left(F\right)、棱数(E)\left(E\right)之间存在的一个有趣的关系式:V+F−2=EV+F-2=E,这一关系式被称为欧拉公式.
任务一:一个多面体的面数比顶点数大88,且有3030条棱,则这多面体的顶点数是
______；
任务二:某个玻璃饰品的外形是简单多面体,它的外表是由三角形和六边形两种多边形拼接而成,且有1818个顶点,每个顶点处都有44条棱,设该多面体表面三角形的个数为mm个,六边形的个数为nn个,求m+nm+n的值；
任务三:在任务二的条件下,已知m+2q=17m+2q=17,求代数式
(2n−4q)2+32q−n(2n-4q)^{2}+\frac{3}{2q-n}的值.
知识点：欧拉公式I章节：第3章 简单的几何图形 / 3.1 平面图形与立体图形

答案与解析

答案

任务一：由题意得：V+V+8−2=30V+V+8-2=30，
解得：V=12V=12，
即这多面体的顶点数是1212，
故答案为：1212；
任务二：由题意得，顶点数为1818，面数为m+nm+n，棱数为18×42\frac{18×4}{2}，
则18+m+n−2=18×4218+m+n-2=\frac{18×4}{2}，
整理得：m+n=20m+n=20；
任务三：∵m+n=20\because m+n=20，
∴m=20−n\therefore m=20-n，
∵m+2q=17\because m+2q=17，
∴20−n+2q=17\therefore 20-n+2q=17，
∴n−2q=3\therefore n-2q=3，
原式=[2(n−2q)]2−3n−2q=\left[2\left(n-2q\right)\right]^{2}-\frac{3}{n-2q}
=(2×3)2−33=\left(2\times 3\right)^{2}-\frac{3}{3}
=36−1=36-1
=35=35.

解析

任务一：由题意得：V+V+8−2=30V+V+8-2=30，
解得：V=12V=12，
即这多面体的顶点数是1212，
故答案为：1212；
任务二：由题意得，顶点数为1818，面数为m+nm+n，棱数为18×42\frac{18×4}{2}，
则18+m+n−2=18×4218+m+n-2=\frac{18×4}{2}，
整理得：m+n=20m+n=20；
任务三：∵m+n=20\because m+n=20，
∴m=20−n\therefore m=20-n，
∵m+2q=17\because m+2q=17，
∴20−n+2q=17\therefore 20-n+2q=17，
∴n−2q=3\therefore n-2q=3，
原式=[2(n−2q)]2−3n−2q=\left[2\left(n-2q\right)\right]^{2}-\frac{3}{n-2q}
=(2×3)2−33=\left(2\times 3\right)^{2}-\frac{3}{3}
=36−1=36-1
=35=35.

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