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九年级数学填空题一般
题目
问题提出:
(1)(1)如图11,在一间黑暗的屋子里用一盏白炽灯照射正下方如图所示的球.已知球到灯和到地面的距离相等,且球的直径是40cm40cm即AB=40cmAB=40cm,则这个球在地面上的影子的面积是______.(.(结果保留π)\pi )
问题探究:
(2)(2)将两个全等的等腰直角三角形摆成如图22所示的样子（图中所有点、线都在同一平面内,点FF、GG在BCBC边上),若AC=4AC=4,求FGFG的最小值,并证明你的结论.(结果保留根号）
问题解决:
(3)(3)某地质勘察队,为了进行资源勘测,建立了一个四边形野外勘察基地ABCDABCD,如图33所示,现在此勘察基地铺设了两条道路,DEDE,ACAC,并使得∠AFE=∠ADC\angle AFE=\angle ADC且CA⊥BACA\bot BA,现测得DC=4003DC=400\sqrt{3}米,CF=AB=600CF=AB=600米,sin∠DCA=25sin∠DCA=\frac{2}{5},根据工作需要在点AA处安装了一个可转动的照明灯,照明灯的两边缘光线夹角不变且与BCBC分别交于点GG、H(H(受实际因素影响点GG、HH始终在BCBC边上）,经过测量,∠B\angle B与∠GAH\angle GAH恰好互余,为了尽快完成勘察工作,勘察队需要夜间工作,那么夜间工作时,整个基地未被灯光AA照到的盲区部分面积是否存在最大值?若存在,请求出最大面积是多少,如果不存在,请说明理由.
知识点：视点、视角和盲区章节：第5章 投影与视图 / 5.1 投影

答案与解析

答案

（1）如图11所示，设灯的位置为OO，影子在地面的直径为CDCD，过点OO作OF⊥CDOF\bot CD分别交ABAB，CDCD于EE、FF，

由题意得,AB,AB∥CDCD，
∴OF⊥AE\therefore OF\bot AE，
∵\because球到灯和到地面的距离相等，
∴OE=EF\therefore OE=EF，即OF=2OEOF=2OE，
∵AB\because AB∥CDCD，
∴△ABO\therefore \triangle ABO∽△CDO\triangle CDO，
∴CDAB=OFOE=2\therefore \frac{CD}{AB}=\frac{OF}{OE}=2，
∴CD=2AB=80cm\therefore CD=2AB=80cm，
∴\therefore这个球在地面上的影子的面积是π×(802)2=1600π(cm2)\pi \times {(\frac{80}{2})}^{2}=1600\pi (cm^{2})，
故答案为：1600πcm21600\pi cm^{2}；
(2)(2)如图22所示，过点AA作AO⊥BCAO\bot BC于OO，分别作∠BAO\angle BAO，∠CAO\angle CAO的角平分线分别交BCBC于MM、NN，

∵△BAC\because \triangle BAC是等腰直角三角形，∠BAC=90∘\angle BAC=90^{\circ}，
∴∠BAO=∠CAO=45∘\therefore \angle BAO=\angle CAO=45^{\circ}，
∴∠OAM=∠OAN=12×45∘=22.5∘\therefore \angle OAM=\angle OAN=\frac{1}{2}\times 45^{\circ}=22.5^{\circ}，
∴∠MAN=45∘\therefore \angle MAN=45^{\circ}，
又∵AO=AO\because AO=AO，∠AOM=∠AON=90∘\angle AOM=\angle AON=90^{\circ}，
∴△AOM\therefore \triangle AOM≌△AON(ASA)\triangle AON\left(ASA\right)，
∴AM=AN\therefore AM=AN；
如图所示，过点FF作FP⊥AMFP\bot AM于PP，过点NN作NQ⊥AGNQ\bot AG于QQ，
∵∠MAN=∠FAG=45∘\because \angle MAN=\angle FAG=45^{\circ}，
∴∠MAF=∠MAQ\therefore \angle MAF=\angle MAQ，
∴sin⁡∠MAF=sin⁡∠NAG\therefore \sin \angle MAF=\sin \angle NAG，
∵PF=AF⋅sin⁡∠MAF\because PF=AF\cdot \sin \angle MAF，NQ=AN⋅sin⁡∠NAQNQ=AN\cdot \sin \angle NAQ，
∴S△AMF=12AM⋅PF=12AM⋅AF⋅sin⁡∠MAF\therefore S_{\triangle AMF}=\frac{1}{2}AM\cdot PF=\frac{1}{2}AM\cdot AF\cdot \sin \angle MAF，
S△ANG=12AG⋅NQ=12AG⋅AN⋅sin⁡∠NAGS_{\triangle ANG}=\frac{1}{2}AG\cdot NQ=\frac{1}{2}AG\cdot AN\cdot \sin \angle NAG，
∵AF<AM=AN<AG\because AF \lt AM=AN \lt AG，
∴S△AMF<S△ANG\therefore S_{\triangle AMF} \lt S_{\triangle ANG}，
∴S△AMF+S△FAN<S△ANG+S△FAN\therefore S_{\triangle AMF}+S_{\triangle FAN} \lt S_{\triangle ANG}+S_{\triangle FAN}，
∴S△AMN<S△AFG\therefore S_{\triangle AMN} \lt S_{\triangle AFG}，
∴12MN⋅AO<12FG⋅AO\therefore \frac{1}{2}MN\cdot AO \lt \frac{1}{2}FG\cdot AO，
∴MN<FG\therefore MN \lt FG，
∴\therefore当FF、MM重合，NN、GG重合时，FGFG有最小值，
如图所示，过点MM作MH⊥ABMH\bot AB于HH，则由角平分线的性质可得HM=OMHM=OM，
∵AB=AC=4\because AB=AC=4，
∴BC=42\therefore BC=4\sqrt{2}，
∴AO=BO=22\therefore AO=BO=2\sqrt{2}，
∵S△ABO=S△AOM+S△ABM\because S_{\triangle ABO}=S_{\triangle AOM}+S_{\triangle ABM}，
∴12×22×22=12×22OM+12×4HM\therefore \frac{1}{2}\times 2\sqrt{2}\times 2\sqrt{2}=\frac{1}{2}\times 2\sqrt{2}OM+\frac{1}{2}\times 4HM，
∴2OM+2OM=4\therefore \sqrt{2}OM+2OM=4，
∴OM=4−22\therefore OM=4-2\sqrt{2}，
∴MN=2OM=8−42\therefore MN=2OM=8-4\sqrt{2}，
∴FG\therefore FG的最小值为8−428-4\sqrt{2}；
(3)∵∠AFE=∠ADC(3)\because \angle AFE=\angle ADC，∠AFE=∠CFD\angle AFE=\angle CFD，
∴∠ADC=∠DFC\therefore \angle ADC=\angle DFC，
又∵∠ACD=∠DCF\because \angle ACD=\angle DCF，
∴△ACD\therefore \triangle ACD∽△DCF\triangle DCF，
∴ACCD=CDCF\therefore \frac{AC}{CD}=\frac{CD}{CF}，即AC4003=4003600\frac{AC}{400\sqrt{3}}=\frac{400\sqrt{3}}{600}，
∴AC=800\therefore AC=800米，
∴S△ABC=12AC⋅AB=240000\therefore S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AC\cdot AB=240000平方米；
∵CA⊥BA\because CA\bot BA，AB=600AB=600米，
∴BC=AB2+AC2=1000\therefore BC=\sqrt{A{B}^{2}+A{C}^{2}}=1000米，
如图所示，过点DD作DM⊥ACDM\bot AC于MM，过点AA作AN⊥BCAN\bot BC于NN，

在Rt△CDMRt\triangle CDM中，sin⁡∠DCM=DMCD=25\sin \angle DCM=\frac{DM}{CD}=\frac{2}{5}，
∴DM=25CD=1603\therefore DM=\frac{2}{5}CD=160\sqrt{3}米，
∴S△ACD=12AB⋅DM=640003\therefore S_{\triangle ACD}=\frac{1}{2}AB\cdot DM=64000\sqrt{3}平方米；
∵S△ABC=12BC⋅AN=24000\because S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}BC\cdot AN=24000平方米；
∴AN=480\therefore AN=480米；
∵∠B\because \angle B与∠GAH\angle GAH恰好互余，
∴∠B+∠GAH=90∘\therefore \angle B+\angle GAH=90^{\circ}，
又∵∠B+∠ACB=90∘\because \angle B+\angle ACB=90^{\circ}，
∴∠GAH=∠ACB\therefore \angle GAH=\angle ACB，
∴\therefore由（2）可知当AG=AHAG=AH时，S△GAHS_{\triangle GAH}最小，此时整个基地未被灯光AA照到的盲区部分面积最大，
∴∠AGH=∠AHG=∠ACB+∠CAH=∠CAH+∠GAH=∠CAG\therefore \angle AGH=\angle AHG=\angle ACB+\angle CAH=\angle CAH+\angle GAH=\angle CAG，
∴CG=AC=800\therefore CG=AC=800米，
在Rt△ACNRt\triangle ACN中，由勾股定理得CN=AC2−AN2=640CN=\sqrt{A{C}^{2}-A{N}^{2}}=640米，
∴GN=160\therefore GN=160米，
∴GH=2GN=320\therefore GH=2GN=320米
∴S△AGH=12GH⋅AN=76800\therefore S_{\triangle AGH}=\frac{1}{2}GH\cdot AN=76800平方米，
∴\therefore整个基地未被灯光AA照到的盲区部分面积的最大值为240000+640003−76800=(163200+640003)240000+64000\sqrt{3}-76800=(163200+64000\sqrt{3})（平方米)。

解析

（1）如图11所示，设灯的位置为OO，影子在地面的直径为CDCD，过点OO作OF⊥CDOF\bot CD分别交ABAB，CDCD于EE、FF，

由题意得,AB,AB∥CDCD，
∴OF⊥AE\therefore OF\bot AE，
∵\because球到灯和到地面的距离相等，
∴OE=EF\therefore OE=EF，即OF=2OEOF=2OE，
∵AB\because AB∥CDCD，
∴△ABO\therefore \triangle ABO∽△CDO\triangle CDO，
∴CDAB=OFOE=2\therefore \frac{CD}{AB}=\frac{OF}{OE}=2，
∴CD=2AB=80cm\therefore CD=2AB=80cm，
∴\therefore这个球在地面上的影子的面积是π×(802)2=1600π(cm2)\pi \times {(\frac{80}{2})}^{2}=1600\pi (cm^{2})，
故答案为：1600πcm21600\pi cm^{2}；
(2)(2)如图22所示，过点AA作AO⊥BCAO\bot BC于OO，分别作∠BAO\angle BAO，∠CAO\angle CAO的角平分线分别交BCBC于MM、NN，

∵△BAC\because \triangle BAC是等腰直角三角形，∠BAC=90∘\angle BAC=90^{\circ}，
∴∠BAO=∠CAO=45∘\therefore \angle BAO=\angle CAO=45^{\circ}，
∴∠OAM=∠OAN=12×45∘=22.5∘\therefore \angle OAM=\angle OAN=\frac{1}{2}\times 45^{\circ}=22.5^{\circ}，
∴∠MAN=45∘\therefore \angle MAN=45^{\circ}，
又∵AO=AO\because AO=AO，∠AOM=∠AON=90∘\angle AOM=\angle AON=90^{\circ}，
∴△AOM\therefore \triangle AOM≌△AON(ASA)\triangle AON\left(ASA\right)，
∴AM=AN\therefore AM=AN；
如图所示，过点FF作FP⊥AMFP\bot AM于PP，过点NN作NQ⊥AGNQ\bot AG于QQ，
∵∠MAN=∠FAG=45∘\because \angle MAN=\angle FAG=45^{\circ}，
∴∠MAF=∠MAQ\therefore \angle MAF=\angle MAQ，
∴sin⁡∠MAF=sin⁡∠NAG\therefore \sin \angle MAF=\sin \angle NAG，
∵PF=AF⋅sin⁡∠MAF\because PF=AF\cdot \sin \angle MAF，NQ=AN⋅sin⁡∠NAQNQ=AN\cdot \sin \angle NAQ，
∴S△AMF=12AM⋅PF=12AM⋅AF⋅sin⁡∠MAF\therefore S_{\triangle AMF}=\frac{1}{2}AM\cdot PF=\frac{1}{2}AM\cdot AF\cdot \sin \angle MAF，
S△ANG=12AG⋅NQ=12AG⋅AN⋅sin⁡∠NAGS_{\triangle ANG}=\frac{1}{2}AG\cdot NQ=\frac{1}{2}AG\cdot AN\cdot \sin \angle NAG，
∵AF<AM=AN<AG\because AF \lt AM=AN \lt AG，
∴S△AMF<S△ANG\therefore S_{\triangle AMF} \lt S_{\triangle ANG}，
∴S△AMF+S△FAN<S△ANG+S△FAN\therefore S_{\triangle AMF}+S_{\triangle FAN} \lt S_{\triangle ANG}+S_{\triangle FAN}，
∴S△AMN<S△AFG\therefore S_{\triangle AMN} \lt S_{\triangle AFG}，
∴12MN⋅AO<12FG⋅AO\therefore \frac{1}{2}MN\cdot AO \lt \frac{1}{2}FG\cdot AO，
∴MN<FG\therefore MN \lt FG，
∴\therefore当FF、MM重合，NN、GG重合时，FGFG有最小值，
如图所示，过点MM作MH⊥ABMH\bot AB于HH，则由角平分线的性质可得HM=OMHM=OM，
∵AB=AC=4\because AB=AC=4，
∴BC=42\therefore BC=4\sqrt{2}，
∴AO=BO=22\therefore AO=BO=2\sqrt{2}，
∵S△ABO=S△AOM+S△ABM\because S_{\triangle ABO}=S_{\triangle AOM}+S_{\triangle ABM}，
∴12×22×22=12×22OM+12×4HM\therefore \frac{1}{2}\times 2\sqrt{2}\times 2\sqrt{2}=\frac{1}{2}\times 2\sqrt{2}OM+\frac{1}{2}\times 4HM，
∴2OM+2OM=4\therefore \sqrt{2}OM+2OM=4，
∴OM=4−22\therefore OM=4-2\sqrt{2}，
∴MN=2OM=8−42\therefore MN=2OM=8-4\sqrt{2}，
∴FG\therefore FG的最小值为8−428-4\sqrt{2}；
(3)∵∠AFE=∠ADC(3)\because \angle AFE=\angle ADC，∠AFE=∠CFD\angle AFE=\angle CFD，
∴∠ADC=∠DFC\therefore \angle ADC=\angle DFC，
又∵∠ACD=∠DCF\because \angle ACD=\angle DCF，
∴△ACD\therefore \triangle ACD∽△DCF\triangle DCF，
∴ACCD=CDCF\therefore \frac{AC}{CD}=\frac{CD}{CF}，即AC4003=4003600\frac{AC}{400\sqrt{3}}=\frac{400\sqrt{3}}{600}，
∴AC=800\therefore AC=800米，
∴S△ABC=12AC⋅AB=240000\therefore S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AC\cdot AB=240000平方米；
∵CA⊥BA\because CA\bot BA，AB=600AB=600米，
∴BC=AB2+AC2=1000\therefore BC=\sqrt{A{B}^{2}+A{C}^{2}}=1000米，
如图所示，过点DD作DM⊥ACDM\bot AC于MM，过点AA作AN⊥BCAN\bot BC于NN，

在Rt△CDMRt\triangle CDM中，sin⁡∠DCM=DMCD=25\sin \angle DCM=\frac{DM}{CD}=\frac{2}{5}，
∴DM=25CD=1603\therefore DM=\frac{2}{5}CD=160\sqrt{3}米，
∴S△ACD=12AB⋅DM=640003\therefore S_{\triangle ACD}=\frac{1}{2}AB\cdot DM=64000\sqrt{3}平方米；
∵S△ABC=12BC⋅AN=24000\because S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}BC\cdot AN=24000平方米；
∴AN=480\therefore AN=480米；
∵∠B\because \angle B与∠GAH\angle GAH恰好互余，
∴∠B+∠GAH=90∘\therefore \angle B+\angle GAH=90^{\circ}，
又∵∠B+∠ACB=90∘\because \angle B+\angle ACB=90^{\circ}，
∴∠GAH=∠ACB\therefore \angle GAH=\angle ACB，
∴\therefore由（2）可知当AG=AHAG=AH时，S△GAHS_{\triangle GAH}最小，此时整个基地未被灯光AA照到的盲区部分面积最大，
∴∠AGH=∠AHG=∠ACB+∠CAH=∠CAH+∠GAH=∠CAG\therefore \angle AGH=\angle AHG=\angle ACB+\angle CAH=\angle CAH+\angle GAH=\angle CAG，
∴CG=AC=800\therefore CG=AC=800米，
在Rt△ACNRt\triangle ACN中，由勾股定理得CN=AC2−AN2=640CN=\sqrt{A{C}^{2}-A{N}^{2}}=640米，
∴GN=160\therefore GN=160米，
∴GH=2GN=320\therefore GH=2GN=320米
∴S△AGH=12GH⋅AN=76800\therefore S_{\triangle AGH}=\frac{1}{2}GH\cdot AN=76800平方米，
∴\therefore整个基地未被灯光AA照到的盲区部分面积的最大值为240000+640003−76800=(163200+640003)240000+64000\sqrt{3}-76800=(163200+64000\sqrt{3})（平方米)。

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