问题提出:
$(1)$如图$1$,在一间黑暗的屋子里用一盏白炽灯照射正下方如图所示的球.已知球到灯和到地面的距离相等,且球的直径是$40cm$即$AB=40cm$,则这个球在地面上的影子的面积是______$.($结果保留$\pi )$
问题探究:
$(2)$将两个全等的等腰直角三角形摆成如图$2$所示的样子（图中所有点、线都在同一平面内,点$F$、$G$在$BC$边上),若$AC=4$,求$FG$的最小值,并证明你的结论.(结果保留根号）
问题解决:
$(3)$某地质勘察队,为了进行资源勘测,建立了一个四边形野外勘察基地$ABCD$,如图$3$所示,现在此勘察基地铺设了两条道路,$DE$,$AC$,并使得$\angle AFE=\angle ADC$且$CA\bot BA$,现测得$DC=400\sqrt{3}$米,$CF=AB=600$米,$sin∠DCA=\frac{2}{5}$,根据工作需要在点$A$处安装了一个可转动的照明灯,照明灯的两边缘光线夹角不变且与$BC$分别交于点$G$、$H($受实际因素影响点$G$、$H$始终在$BC$边上）,经过测量,$\angle B$与$\angle GAH$恰好互余,为了尽快完成勘察工作,勘察队需要夜间工作,那么夜间工作时,整个基地未被灯光$A$照到的盲区部分面积是否存在最大值?若存在,请求出最大面积是多少,如果不存在,请说明理由.