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九年级数学填空题一般
题目
如图,玻璃桌面与地面平行,桌面上有一盏台灯和一支铅笔,点光源OO与铅笔ABAB所确定的平面垂直于桌面.在灯光照射下,ABAB在地面上形成的影子为CD(CD(不计折射),AB),AB∥CD.CD.
(1)(1)在桌面上沿着ABAB方向平移铅笔,试说明CDCD的长度不变.
(2)(2)桌面上一点PP恰在点OO的正下方,且OP=36cmOP=36cm,PA=18cmPA=18cm,AB=18cmAB=18cm,桌面的高度为60cm60cm.在点OO与ABAB所确定的平面内,将ABAB绕点AA旋转,使得CDCD的长度最大.
①画出此时ABAB所在位置的示意图；
②CDCD的长度的最大值为______cm.cm.
知识点：线段垂直平分线的性质、矩形的性质、矩形的判定、视点、视角和盲区、锐角三角函数的定义、特殊角的三角函数值、解直角三角形的应用章节：第5章 投影与视图 / 5.1 投影

答案与解析

答案

（1）设ABAB平移到EFEF，EFEF在地面上形成的影子为MNMN.

∵AB\because AB∥CDCD，
∴△OAB\therefore \triangle OAB∽△OCD\triangle OCD，
△OEF\triangle OEF∽△OMN\triangle OMN，
△OEB\triangle OEB∽△OMD\triangle OMD，
∴ABCD=OBOD\therefore \frac{AB}{CD}=\frac{OB}{OD}，EFMN=OEOM\frac{EF}{MN}=\frac{OE}{OM}，OBOD=OEOM\frac{OB}{OD}=\frac{OE}{OM}，
∴EFMN=ABCD\therefore \frac{EF}{MN}=\frac{AB}{CD}，
∵EF=AB\because EF=AB，
∴MN=CD\therefore MN=CD，
∴\therefore沿着ABAB方向平移时，CDCD长度不变.
(2)(2)①以AA为圆心，ABAB长为半径画圆，
当OQOQ与⊙A\odot A相切于HH时，此时CDCD最大为CQCQ.
此时ABAB所在位置为AHAH.

②∵∠HGA=∠PGO\because \angle HGA=\angle PGO，∠AHG=∠OPG=90∘\angle AHG=\angle OPG=90^{\circ}，
∴△GHA\therefore \triangle GHA∽△GPO\triangle GPO，
∴GAGO=AHOP=1836=12\therefore \frac{GA}{GO}=\frac{AH}{OP}=\frac{18}{36}=\frac{1}{2}，
∴\therefore设GA=xGA=x，则GO=2xGO=2x，
在Rt△OPGRt\triangle OPG中，
OP2+PG2=OG2OP^{2}+PG^{2}=OG^{2}，
∴362+(18+x)2=(2x)2\therefore 36^{2}+\left(18+x\right)^{2}=\left(2x\right)^{2}，
∴x2−12x−540=0\therefore x^{2}-12x-540=0，
∴x1=30\therefore x_{1}=30，x2=−18(舍去)x_{2}=-18(舍去)，
∴AG=30\therefore AG=30，
由①OPOR=AGCQ\frac{OP}{OR}=\frac{AG}{CQ}，
∴3636+60=30CQ\therefore \frac{36}{36+60}=\frac{30}{CQ}，
∴CQ=80\therefore CQ=80，
即CDCD的长度的最大值为80cm80cm.

解析

（1）设ABAB平移到EFEF，EFEF在地面上形成的影子为MNMN.

∵AB\because AB∥CDCD，
∴△OAB\therefore \triangle OAB∽△OCD\triangle OCD，
△OEF\triangle OEF∽△OMN\triangle OMN，
△OEB\triangle OEB∽△OMD\triangle OMD，
∴ABCD=OBOD\therefore \frac{AB}{CD}=\frac{OB}{OD}，EFMN=OEOM\frac{EF}{MN}=\frac{OE}{OM}，OBOD=OEOM\frac{OB}{OD}=\frac{OE}{OM}，
∴EFMN=ABCD\therefore \frac{EF}{MN}=\frac{AB}{CD}，
∵EF=AB\because EF=AB，
∴MN=CD\therefore MN=CD，
∴\therefore沿着ABAB方向平移时，CDCD长度不变.
(2)(2)①以AA为圆心，ABAB长为半径画圆，
当OQOQ与⊙A\odot A相切于HH时，此时CDCD最大为CQCQ.
此时ABAB所在位置为AHAH.

②∵∠HGA=∠PGO\because \angle HGA=\angle PGO，∠AHG=∠OPG=90∘\angle AHG=\angle OPG=90^{\circ}，
∴△GHA\therefore \triangle GHA∽△GPO\triangle GPO，
∴GAGO=AHOP=1836=12\therefore \frac{GA}{GO}=\frac{AH}{OP}=\frac{18}{36}=\frac{1}{2}，
∴\therefore设GA=xGA=x，则GO=2xGO=2x，
在Rt△OPGRt\triangle OPG中，
OP2+PG2=OG2OP^{2}+PG^{2}=OG^{2}，
∴362+(18+x)2=(2x)2\therefore 36^{2}+\left(18+x\right)^{2}=\left(2x\right)^{2}，
∴x2−12x−540=0\therefore x^{2}-12x-540=0，
∴x1=30\therefore x_{1}=30，x2=−18(舍去)x_{2}=-18(舍去)，
∴AG=30\therefore AG=30，
由①OPOR=AGCQ\frac{OP}{OR}=\frac{AG}{CQ}，
∴3636+60=30CQ\therefore \frac{36}{36+60}=\frac{30}{CQ}，
∴CQ=80\therefore CQ=80，
即CDCD的长度的最大值为80cm80cm.

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