为了保护学生视力,要求学生写字时应保持眼睛与书本最佳距离约为$35cm$.如图,$BD$为桌面,嘉琪同学眼睛$P$看作业本$A$的俯角为$53^{\circ}$,身体离书桌距离$BC=9cm$,眼睛到桌积面的距离$PC=24cm$.
$(1)$通过计算,请判断嘉琪的眼睛与作业本的距离是否符合最佳要求；
$(2)$为确保眼睛与作业本的距离符合最佳要求,在身体离书桌的距离$BC$和眼睛到桌面的距离$PC$保持不变的情况下,需将作业本沿$BA$方向移动到点$E$处,求作业本移动的距离$AE.($结果精确到$0.1cm)($参考数据:$\cos 37^{\circ}\approx 0.8$,$cos47°≈\frac{24}{35}$,$\tan 47^{\circ}\approx 1.07.)$