（1）①$\because \triangle ABC$为等边三角形，
$\therefore BA=BC$，$\angle ABC=60^{\circ}$，
$\because \triangle BAO$绕点$B$顺时针旋转后得到$\triangle BCD$，
$\therefore \angle OBD=\angle ABC=60^{\circ}$，
$\therefore$旋转角的度数为$60^{\circ}$；
②$\because \triangle BAO$绕点$B$顺时针旋转后得到$\triangle BCD$，
$\therefore BO=BD$，
而$\angle OBD=60^{\circ}$，
$\therefore \triangle OBD$为等边三角形；
$\therefore OD=OB=4$；
③$\because \triangle BOD$为等边三角形，
$\therefore \angle BDO=60^{\circ}$，
$\because \triangle BAO$绕点$B$顺时针旋转后得到$\triangle BCD$，
$\therefore CD=AO=3$，
在$\triangle OCD$中，$CD=3$，$OD=4$，$OC=5$，
$\because 3^{2}+4^{2}=5^{2}$，
$\therefore CD^{2}+OD^{2}=OC^{2}$，
$\therefore \triangle OCD$为直角三角形，$\angle ODC=90^{\circ}$，
$\therefore \angle BDC=\angle BDO+\angle ODC=60^{\circ}+90^{\circ}=150^{\circ}$；
$(2)OA^{2}+2OB^{2}=OC^{2}$时，$\angle ODC=90^{\circ}$.理由如下：
$\because \triangle BAO$绕点$B$顺时针旋转后得到$\triangle BCD$，
$\therefore \angle OBD=\angle ABC=90^{\circ}$，$BO=BD$，$CD=AO$，
$\therefore \triangle OBD$为等腰直角三角形，
$\therefore OD=\sqrt{2}OB$，
$\because$当$CD^{2}+OD^{2}=OC^{2}$时，$\triangle OCD$为直角三角形，$\angle ODC=90^{\circ}$，
$\therefore OA^{2}+2OB^{2}=OC^{2}$，
$\therefore$当$OA$、$OB$、$OC$满足$OA^{2}+2OB^{2}=OC^{2}$时，$\angle ODC=90^{\circ}$.

（1）①$\because \triangle ABC$为等边三角形，
$\therefore BA=BC$，$\angle ABC=60^{\circ}$，
$\because \triangle BAO$绕点$B$顺时针旋转后得到$\triangle BCD$，
$\therefore \angle OBD=\angle ABC=60^{\circ}$，
$\therefore$旋转角的度数为$60^{\circ}$；
②$\because \triangle BAO$绕点$B$顺时针旋转后得到$\triangle BCD$，
$\therefore BO=BD$，
而$\angle OBD=60^{\circ}$，
$\therefore \triangle OBD$为等边三角形；
$\therefore OD=OB=4$；
③$\because \triangle BOD$为等边三角形，
$\therefore \angle BDO=60^{\circ}$，
$\because \triangle BAO$绕点$B$顺时针旋转后得到$\triangle BCD$，
$\therefore CD=AO=3$，
在$\triangle OCD$中，$CD=3$，$OD=4$，$OC=5$，
$\because 3^{2}+4^{2}=5^{2}$，
$\therefore CD^{2}+OD^{2}=OC^{2}$，
$\therefore \triangle OCD$为直角三角形，$\angle ODC=90^{\circ}$，
$\therefore \angle BDC=\angle BDO+\angle ODC=60^{\circ}+90^{\circ}=150^{\circ}$；
$(2)OA^{2}+2OB^{2}=OC^{2}$时，$\angle ODC=90^{\circ}$.理由如下：
$\because \triangle BAO$绕点$B$顺时针旋转后得到$\triangle BCD$，
$\therefore \angle OBD=\angle ABC=90^{\circ}$，$BO=BD$，$CD=AO$，
$\therefore \triangle OBD$为等腰直角三角形，
$\therefore OD=\sqrt{2}OB$，
$\because$当$CD^{2}+OD^{2}=OC^{2}$时，$\triangle OCD$为直角三角形，$\angle ODC=90^{\circ}$，
$\therefore OA^{2}+2OB^{2}=OC^{2}$，
$\therefore$当$OA$、$OB$、$OC$满足$OA^{2}+2OB^{2}=OC^{2}$时，$\angle ODC=90^{\circ}$.