$(1)$如图$1$,$O$是等边$\triangle ABC$内一点,连接$OA$、$OB$、$OC$,且$OA=3$,$OB=4$,$OC=5$,将$\triangle BAO$绕点$B$顺时针旋转后得到$\triangle BCD$,连接$OD$.
求:①旋转角的度数______；
②线段$OD$的长______；
③求$\angle BDC$的度数.
$(2)$如图$2$所示,$O$是等腰直角$\triangle ABC\left(\angle ABC=90^{\circ}\right)$内一点,连接$OA$、$OB$、$OC$,将$\triangle BAO$绕点$B$顺时针旋转后得到$\triangle BCD$,连接$OD$.当$OA$、$OB$、$OC$满足什么条件时,$\angle ODC=90^{\circ}$?请给出证明.